1. Énoncé du problème 70 : Soient A et B deux événements incompatibles de probabilité non nulle. Démontrer que A et B ne sont pas indépendants. 2. Rappel des définitions : - Deux événements A et B sont incompatibles si $P(A \cap B) = 0$. - Deux événements A et B sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. 3. Puisque A et B sont incompatibles, on a : $$P(A \cap B) = 0$$ 4. Or, comme $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ (probabilités non nulles), alors : $$P(A) \times P(B) > 0$$ 5. Pour que A et B soient indépendants, il faudrait que : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$ ce qui reviendrait à : $$0 = P(A) \times P(B) > 0$$ 6. Cette égalité est impossible, donc A et B ne peuvent pas être indépendants. --- 1. Énoncé du problème 77 : Dans un collège, les élèves choisissent une option parmi « latin » et « théâtre » et une langue vivante parmi « allemand » et « italien ». Le tableau des effectifs est : | | Italien | Allemand | Total | |----------|---------|----------|-------| | Latin | 30 | 120 | 150 | | Théâtre | 90 | 80 | 170 | | Total | 120 | 200 | 320 | 2. Question 1 : Les événements « faire du latin et de l’italien » (noté $L \cap I$) et « faire du théâtre » (noté $T$) sont-ils indépendants ? - Calcul de $P(L \cap I) = \frac{30}{320} = 0,09375$ - Calcul de $P(T) = \frac{170}{320} = 0,53125$ - Calcul de $P((L \cap I) \cap T)$ : ces deux événements sont incompatibles car un élève ne peut pas faire latin et théâtre en même temps, donc $$P((L \cap I) \cap T) = 0$$ - Vérification de l'indépendance : $$P((L \cap I) \cap T) \stackrel{?}{=} P(L \cap I) \times P(T)$$ $$0 \stackrel{?}{=} 0,09375 \times 0,53125 = 0,0497$$ - Comme $0 \neq 0,0497$, les événements ne sont pas indépendants. 3. Question 2 : Les événements « faire du latin » ($L$) et « faire de l’allemand » ($A$) sont-ils indépendants ? - Calcul de $P(L) = \frac{150}{320} = 0,46875$ - Calcul de $P(A) = \frac{200}{320} = 0,625$ - Calcul de $P(L \cap A) = \frac{120}{320} = 0,375$ - Vérification de l'indépendance : $$P(L \cap A) \stackrel{?}{=} P(L) \times P(A)$$ $$0,375 \stackrel{?}{=} 0,46875 \times 0,625 = 0,29297$$ - Comme $0,375 \neq 0,29297$, les événements ne sont pas indépendants. 4. Question 3 : Les événements « faire du latin » ($L$) et « faire du théâtre » ($T$) sont-ils indépendants ? - Calcul de $P(L) = 0,46875$ - Calcul de $P(T) = 0,53125$ - Calcul de $P(L \cap T)$ : un élève ne peut pas faire latin et théâtre en même temps, donc $$P(L \cap T) = 0$$ - Vérification de l'indépendance : $$P(L \cap T) \stackrel{?}{=} P(L) \times P(T)$$ $$0 \stackrel{?}{=} 0,46875 \times 0,53125 = 0,249$$ - Comme $0 \neq 0,249$, les événements ne sont pas indépendants. --- Réponses finales : - Problème 70 : A et B incompatibles ne sont pas indépendants. - Problème 77 : Aucun des couples d'événements testés n'est indépendant.