1. Énoncé du problème : Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. Montrer que $$E(X)^2 \leq E(X^2)$$. 2. Formule utilisée : On utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires, qui implique que la variance est toujours positive ou nulle. 3. Rappel : La variance de $X$ est définie par $$\mathrm{Var}(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = E(X^2) - E(X)^2 \geq 0$$. 4. Développement : Puisque la variance est positive ou nulle, on a $$E(X^2) - E(X)^2 \geq 0$$ 5. Conclusion : En réarrangeant, on obtient $$E(X)^2 \leq E(X^2)$$ Ceci établit l'inégalité demandée.