1. **Problemstellung:** Eine Blitzumfrage zeigt: 40% der Personen, die die Sendung gesehen haben, sind 30 Jahre oder jünger. Von diesen haben 50% eine positive Meinung. Von den über 30-Jährigen haben 70% eine positive Meinung. Gesucht ist der Anteil der Personen mit positiver Meinung, die älter als 30 Jahre sind. 2. **Formeln und Regeln:** Wir verwenden die bedingte Wahrscheinlichkeit und den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Gesucht ist $$P(\text{älter als 30} \mid \text{positive Meinung}) = \frac{P(\text{positive Meinung} \cap \text{älter als 30})}{P(\text{positive Meinung})}$$ 3. **Daten und Bezeichnungen:** Sei $A$ = "Person ist 30 Jahre oder jünger", $A^c$ = "Person ist älter als 30". Gegeben: $$P(A) = 0.4, \quad P(A^c) = 0.6$$ $$P(\text{positive} \mid A) = 0.5, \quad P(\text{positive} \mid A^c) = 0.7$$ 4. **Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für positive Meinung:** $$P(\text{positive}) = P(\text{positive} \cap A) + P(\text{positive} \cap A^c)$$ $$= P(\text{positive} \mid A) \cdot P(A) + P(\text{positive} \mid A^c) \cdot P(A^c)$$ $$= 0.5 \times 0.4 + 0.7 \times 0.6 = 0.2 + 0.42 = 0.62$$ 5. **Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit:** $$P(A^c \mid \text{positive}) = \frac{P(\text{positive} \cap A^c)}{P(\text{positive})} = \frac{P(\text{positive} \mid A^c) \cdot P(A^c)}{P(\text{positive})} = \frac{0.7 \times 0.6}{0.62} = \frac{0.42}{0.62} \approx 0.6774$$ 6. **Interpretation:** Etwa 67.74% der Personen mit positiver Meinung sind älter als 30 Jahre. 7. **Vierfeldertafel (Wahrscheinlichkeiten):** | Alter / Meinung | positiv | negativ | Summe | |-----------------|---------|---------|-------| | ≤ 30 Jahre | 0.2 | 0.2 | 0.4 | | > 30 Jahre | 0.42 | 0.18 | 0.6 | | Summe | 0.62 | 0.38 | 1 | 8. **Baumdiagramm:** Start: 100% Personen - 40% ≤ 30 Jahre - 50% positiv - 50% negativ - 60% > 30 Jahre - 70% positiv - 30% negativ Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst.