1. **Énoncé du problème** : On lance deux fois un dé équilibré. On définit les événements : - $A$: la somme des numéros obtenus est paire. - $B$: le premier lancé donne 1. - $C$: le numéro du premier lancé est strictement inférieur à celui du second. 2. **Calcul de $P(A)$** : La somme est paire si la somme des deux nombres est paire. Les résultats possibles sont $(i,j)$ avec $i,j \in \{1,2,3,4,5,6\}$. Il y a $36$ issues équiprobables. La somme est paire si $i+j$ est pair, c'est-à-dire si $i$ et $j$ sont tous deux pairs ou tous deux impairs. - Nombres pairs : 2,4,6 (3 valeurs) - Nombres impairs : 1,3,5 (3 valeurs) Nombre de cas où $i$ et $j$ sont pairs : $3 \times 3 = 9$ Nombre de cas où $i$ et $j$ sont impairs : $3 \times 3 = 9$ Donc $P(A) = \frac{9+9}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$. 3. **Calcul de $P(B)$** : $B$ est l'événement que le premier lancé est 1. Il y a 6 résultats possibles pour le second lancé. Donc $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. 4. **Calcul de $P(C)$** : $C$ est l'événement que le premier lancé est strictement inférieur au second. Pour chaque $i$ de 1 à 5, le nombre de $j$ tels que $j > i$ est $6 - i$. Donc le nombre de cas favorables est $\sum_{i=1}^5 (6 - i) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$. Donc $P(C) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$. 5. **Calcul des intersections** : - $P(A \cap B)$ : $B$ fixe le premier lancé à 1 (impair), pour que la somme soit paire, le second doit être impair. Les nombres impairs sont 1,3,5 donc 3 cas. $P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. - $P(A \cap C)$ : $C$ impose $i < j$. On cherche les couples $(i,j)$ avec $ii$. Pour $i$ pair, $j$ doit être pair et $j>i$. Calculons : - $i=1$ (impair), $j$ impair $>1$: 3,5 (2 cas) - $i=2$ (pair), $j$ pair $>2$: 4,6 (2 cas) - $i=3$ (impair), $j$ impair $>3$: 5 (1 cas) - $i=4$ (pair), $j$ pair $>4$: 6 (1 cas) - $i=5$ (impair), $j$ impair $>5$: aucun Total = 2+2+1+1=6 cas $P(A \cap C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. - $P(B \cap C)$ : $B$ fixe $i=1$, $C$ impose $1 < j$, donc $j \in \{2,3,4,5,6\}$ (5 cas). $P(B \cap C) = \frac{5}{36}$. 6. **Calcul des probabilités conditionnelles** : - $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{2}$. - $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}$. - $P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{6} \times \frac{12}{5} = \frac{2}{5}$. - $P(C|A) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$. - $P(B|C) = \frac{P(B \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{5}{12}} = \frac{5}{36} \times \frac{12}{5} = \frac{1}{3}$. - $P(C|B) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{6}} = \frac{5}{36} \times 6 = \frac{5}{6}$. **Réponses finales :** - $P(A) = \frac{1}{2}$ - $P(B) = \frac{1}{6}$ - $P(C) = \frac{5}{12}$ - $P(A \cap B) = \frac{1}{12}$ - $P(A \cap C) = \frac{1}{6}$ - $P(B \cap C) = \frac{5}{36}$ - $P(A|B) = \frac{1}{2}$ - $P(B|A) = \frac{1}{6}$ - $P(A|C) = \frac{2}{5}$ - $P(C|A) = \frac{1}{3}$ - $P(B|C) = \frac{1}{3}$ - $P(C|B) = \frac{5}{6}$