1. **הבעיה:** בכיתה יש 8 תלמידים ו-9 תלמידות. מוציאים אדם מהכיתה. אם זו בת, משאירים אותה בחוץ. אם זה בן, מכניסים אחת במקומו. לאחר מכן מוציאים שוב אדם מהכיתה. נחשב את ההסתברויות השונות לפי השאלות. 2. **הגדרות ונתונים:** - בתחילה: 8 בנים, 9 בנות, סה"כ 17 תלמידים. - אם מוציאים בן, מחזירים בת במקומו. 3. **א. ההסתברות שיצאו שתי בנות:** - שליפה ראשונה: להוציא בת מתוך 17, ההסתברות היא $\frac{9}{17}$. - אם יצא בת, היא נשארת בחוץ, אז בכיתה נשארו 8 בנים ו-8 בנות, סה"כ 16. - שליפה שנייה: להוציא בת מתוך 16, ההסתברות היא $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. - לכן ההסתברות לשתי בנות היא: $$\frac{9}{17} \times \frac{8}{16} = \frac{9}{17} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{34}$$ 4. **ב. ההסתברות שיצא לכל הפחות בן אחד:** - נחשב את ההסתברות ההפוכה: לא יצא אף בן, כלומר שתי בנות. - מהסעיף א' ההסתברות לשתי בנות היא $\frac{9}{34}$. - לכן ההסתברות שיצא לפחות בן אחד היא: $$1 - \frac{9}{34} = \frac{25}{34}$$ 5. **ג. ההסתברות שיצאו בן ובת:** - יש שתי אפשרויות: i. בן ראשון, בת שנייה ii. בת ראשונה, בן שנייה - נחשב כל אחת: i. בן ראשון: - סיכוי להוציא בן ראשון: $\frac{8}{17}$. - מכניסים בת במקומו, אז עכשיו יש 8 בנים ו-10 בנות, סה"כ 18. - סיכוי להוציא בת שנייה: $\frac{10}{18} = \frac{5}{9}$. - לכן ההסתברות ל-i היא: $$\frac{8}{17} \times \frac{5}{9} = \frac{40}{153}$$ ii. בת ראשונה: - סיכוי להוציא בת ראשון: $\frac{9}{17}$. - נשארו 8 בנים ו-8 בנות, סה"כ 16. - סיכוי להוציא בן שני: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. - לכן ההסתברות ל-ii היא: $$\frac{9}{17} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{34}$$ - סה"כ ההסתברות שיצאו בן ובת היא: $$\frac{40}{153} + \frac{9}{34} = \frac{40}{153} + \frac{9 \times 9}{34 \times 9} = \frac{40}{153} + \frac{81}{306} = \frac{80}{306} + \frac{81}{306} = \frac{161}{306} = \frac{161}{306}$$ 6. **ד. ההסתברות שתצא בדיוק בת אחת:** - אפשרויות: i. בן ראשון, בן שני ii. בת ראשון, בן שני iii. בן ראשון, בת שני - נחשב את ההסתברות לכל מקרה: i. בן ראשון: - $\frac{8}{17}$ - מחזירים בת, עכשיו 8 בנים ו-10 בנות, סה"כ 18 - בן שני: $\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ - סה"כ: $\frac{8}{17} \times \frac{4}{9} = \frac{32}{153}$ ii. בת ראשון: - $\frac{9}{17}$ - נשארו 8 בנים ו-8 בנות, סה"כ 16 - בן שני: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ - סה"כ: $\frac{9}{17} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{34}$ iii. בן ראשון: - $\frac{8}{17}$ - מחזירים בת, עכשיו 8 בנים ו-10 בנות, סה"כ 18 - בת שני: $\frac{10}{18} = \frac{5}{9}$ - סה"כ: $\frac{8}{17} \times \frac{5}{9} = \frac{40}{153}$ - סה"כ ההסתברות בדיוק בת אחת היא סכום ii ו-iii כי i הוא שני בנים: $$\frac{9}{34} + \frac{40}{153} = \frac{81}{306} + \frac{80}{306} = \frac{161}{306}$$ **תשובות סופיות:** - א. $\frac{9}{34}$ - ב. $\frac{25}{34}$ - ג. $\frac{161}{306}$ - ד. $\frac{161}{306}$