1. **مشكلة السحب من الكيس:** نضع في كيس 3 كريات تحمل الرقم 1، 2 كريات تحمل الرقم 2، وكرة واحدة تحمل الرقم 3. نسحب كرتين على التوالي بدون إرجاع. 2. **مجموعة الإمكانيات Ω:** مجموعة الإمكانيات هي كل الأزواج الممكنة من الكريات المسحوبة بالترتيب. عدد الكريات الكلي = 3 + 2 + 1 = 6. 3. **عدد عناصر Ω (باستخدام مخطط):** عدد الطرق لسحب كرتين بدون إرجاع = $6 \times 5 = 30$. 4. **القيم الممكنة لΩ:** كل زوج مرتب من الكريات، مثلاً (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2). 5. **الحادثة A: سحب كرتين تحملان نفس الرقم.** - الاحتمالات: عدد الطرق لسحب كرتين بنفس الرقم: - للرقم 1: $3 \times 2 = 6$ (لأن هناك 3 كريات 1، نسحب الأولى ثم الثانية) - للرقم 2: $2 \times 1 = 2$ - للرقم 3: لا يمكن سحب كرتين 3 لأن هناك كرة واحدة فقط إذن عدد الطرق لسحب كرتين بنفس الرقم = $6 + 2 = 8$. 6. **احتمال P(A):** $$P(A) = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$$ 7. **احتمال P(\bar{A}):** $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$$ الحادثة $\bar{A}$ تمثل سحب كرتين برقمين مختلفين. 8. **المتغير العشوائي X:** X هو مجموع أرقام الكرتين المسحوبتين. 9. **القيم الممكنة لX:** - 1+1=2 - 1+2=3 - 1+3=4 - 2+2=4 - 2+3=5 إذن القيم الممكنة: $\{2,3,4,5\}$. 10. **قانون الاحتمال لX:** نحسب احتمال كل قيمة: - $P(X=2)$: سحب (1,1) فقط، عدد الطرق = 6، احتمال = $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ - $P(X=3)$: سحب (1,2) أو (2,1) عدد الطرق (1,2) = $3 \times 2 = 6$ عدد الطرق (2,1) = $2 \times 3 = 6$ المجموع = 12 احتمال = $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ - $P(X=4)$: سحب (1,3), (3,1), (2,2) عدد الطرق (1,3) = $3 \times 1 = 3$ عدد الطرق (3,1) = $1 \times 3 = 3$ عدد الطرق (2,2) = $2 \times 1 = 2$ المجموع = 8 احتمال = $\frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ - $P(X=5)$: سحب (2,3) أو (3,2) عدد الطرق (2,3) = $2 \times 1 = 2$ عدد الطرق (3,2) = $1 \times 2 = 2$ المجموع = 4 احتمال = $\frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ 11. **احتمال P(X \geq 3):** $$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{2}{5} + \frac{4}{15} + \frac{2}{15} = \frac{6}{15} + \frac{4}{15} + \frac{2}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$ 12. **الأمل الرياضي E(X):** $$E(X) = 2 \times \frac{1}{5} + 3 \times \frac{2}{5} + 4 \times \frac{4}{15} + 5 \times \frac{2}{15} = \frac{2}{5} + \frac{6}{5} + \frac{16}{15} + \frac{10}{15} = \frac{2}{5} + \frac{6}{5} + \frac{26}{15}$$ نحول إلى مقام مشترك 15: $$\frac{6}{15} + \frac{18}{15} + \frac{26}{15} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} \approx 3.33$$ 13. **التباين Var(X):** نحسب $E(X^2)$: $$E(X^2) = 2^2 \times \frac{1}{5} + 3^2 \times \frac{2}{5} + 4^2 \times \frac{4}{15} + 5^2 \times \frac{2}{15} = 4 \times \frac{1}{5} + 9 \times \frac{2}{5} + 16 \times \frac{4}{15} + 25 \times \frac{2}{15}$$ $$= \frac{4}{5} + \frac{18}{5} + \frac{64}{15} + \frac{50}{15} = \frac{4}{5} + \frac{18}{5} + \frac{114}{15}$$ نحول إلى مقام 15: $$\frac{12}{15} + \frac{54}{15} + \frac{114}{15} = \frac{180}{15} = 12$$ التباين: $$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 12 - \left(\frac{10}{3}\right)^2 = 12 - \frac{100}{9} = \frac{108}{9} - \frac{100}{9} = \frac{8}{9} \approx 0.89$$ 14. **الانحراف المعياري:** $$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94$$ **النتائج النهائية:** - $P(A) = \frac{4}{15}$ - $P(\bar{A}) = \frac{11}{15}$ - قيم X: $\{2,3,4,5\}$ - قانون الاحتمال لX كما في الخطوة 10 - $P(X \geq 3) = \frac{4}{5}$ - الأمل الرياضي $E(X) = \frac{10}{3}$ - التباين $Var(X) = \frac{8}{9}$ - الانحراف المعياري $\sigma = \frac{2\sqrt{2}}{3}$