1. مسئله: یک کلاس شامل ۳ فارغ التحصیل و ۹ دانشجو است که به طور تصادفی به ۳ گروه ۴ نفری تقسیم می‌شوند. احتمال اینکه هر گروه شامل دقیقاً یک فارغ التحصیل باشد چقدر است؟ 2. فرمول‌ها و قوانین مهم: - تعداد کل راه‌های تقسیم ۱۲ نفر به ۳ گروه ۴ نفری برابر است با ترکیب‌های بدون ترتیب با توجه به گروه‌ها: $$\frac{\binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4}}{3!}$$ - برای اینکه هر گروه دقیقاً یک فارغ التحصیل داشته باشد، باید هر فارغ التحصیل در یک گروه جداگانه باشد و بقیه اعضا از دانشجویان انتخاب شوند. 3. محاسبه تعداد حالت‌های مطلوب: - ابتدا هر فارغ التحصیل را به یک گروه اختصاص می‌دهیم (چون ۳ فارغ التحصیل و ۳ گروه، فقط یک حالت برای این کار وجود دارد). - سپس برای هر گروه ۳ نفر دیگر از دانشجویان انتخاب می‌کنیم: $$\binom{9}{3} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3}$$ 4. محاسبه احتمال: $$\text{احتمال} = \frac{\binom{9}{3} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3}}{\frac{\binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4}}{3!}}$$ 5. محاسبات عددی: - $$\binom{9}{3} = 84$$ - $$\binom{6}{3} = 20$$ - $$\binom{3}{3} = 1$$ - $$\binom{12}{4} = 495$$ - $$\binom{8}{4} = 70$$ - $$\binom{4}{4} = 1$$ 6. جایگذاری اعداد: $$\text{احتمال} = \frac{84 \times 20 \times 1}{\frac{495 \times 70 \times 1}{6}} = \frac{1680}{\frac{34650}{6}} = \frac{1680}{5775}$$ 7. ساده‌سازی کسر: $$\frac{1680}{5775} = \frac{\cancel{1680}}{\cancel{5775}} = \frac{224}{771}$$ نتیجه نهایی: $$\boxed{\frac{224}{771}}$$