1. Diketahui peubah acak diskrit $X$ dengan fungsi peluang $f(x) = \frac{5 - x}{100}$ untuk $x = 1, 2, 3, 4$. Total pembayaran $T$ adalah $200$ untuk setiap dua hari pertama dan $100$ untuk hari berikutnya. 2. Fungsi peluang $f(x)$ untuk kerugian $X$ adalah $f(0) = 0.9$ dan $f(x) = c$ untuk $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Tentukan $c$ dan nilai harapan pembayaran perusahaan asuransi. 3. Peubah acak $X$ adalah banyaknya orang yang ditanya sampai menemukan seseorang dengan tanggal ulang tahun sama. Asumsi 365 hari. 4. Probabilitas soal pertama yang dijawab benar adalah soal ke-4 dengan 5 pilihan jawaban. 5. Permintaan koran mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 3, dan toko memesan $n=4$. 6. Umur pakai voltage regulator dengan pdf $f(x) = \frac{3x^2}{73} e^{-\left(\frac{x}{7}\right)^3}$ untuk $x>0$. 7. Jumlah klaim medis dengan pdf $f(x) = 30x(1-x)^4$ untuk $0 < x < 1$. 8. Jumlah emisi partikel alfa $X$ berdistribusi Poisson dengan rata-rata 16, $W$ adalah waktu sebelum hitungan ketujuh. 9. Peubah acak $X$ dengan pdf $f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\delta}{\theta}}$ untuk $x > \delta$. 10. Mobil tiba di gerbang tol dengan laju 5 mobil per 10 menit, proses Poisson. --- 1. 1. Fungsi pembayaran total $T$ tergantung $X$: $$T = \begin{cases} 200X & \text{jika } X \leq 2 \\ 200 \times 2 + 100 (X - 2) & \text{jika } X > 2 \end{cases}$$ 2. Hitung nilai harapan $E(T) = \sum_x T(x) f(x)$: $$E(T) = 200 \times 1 \times \frac{4}{100} + 200 \times 2 \times \frac{3}{100} + (400 + 100 \times 1) \times \frac{2}{100} + (400 + 100 \times 2) \times \frac{1}{100}$$ 3. Substitusi nilai $f(x) = \frac{5-x}{100}$: $$E(T) = 200 \times 1 \times 0.04 + 200 \times 2 \times 0.03 + 500 \times 0.02 + 600 \times 0.01 = 8 + 12 + 10 + 6 = 36$$ 2. 1. Total probabilitas harus 1: $$0.9 + 6c = 1 \Rightarrow 6c = 0.1 \Rightarrow c = \frac{0.1}{6} = \frac{1}{60}$$ 2. Nilai harapan kerugian $E(X) = 0 \times 0.9 + \sum_{x=1}^6 x \times c = c (1+2+3+4+5+6) = \frac{1}{60} \times 21 = 0.35$ 3. 1. Fungsi kepekatan peluang (geometrik) untuk $X$: $$P(X = k) = \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{k-1} \times \frac{1}{365}$$ 2. Nilai rata-rata $E(X) = \frac{1}{p} = 365$, varian $Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = 365^2 - 365$, simpangan baku $\sigma = \sqrt{Var(X)}$. 3. Probabilitas: $$P(X > 400) = \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{400}$$ $$P(X < 300) = 1 - P(X \geq 300) = 1 - \left(1 - \frac{1}{365}\right)^{299}$$ 4. 1. Probabilitas soal pertama benar di soal ke-4 (geometrik): $$P = (\frac{4}{5})^{3} \times \frac{1}{5} = \frac{64}{125} \times \frac{1}{5} = \frac{64}{625} = 0.1024$$ 5. 1. Nilai harapan penjualan koran $E(X) = \lambda = 3$. 2. Cari $k$ minimum sehingga $P(X > k) < 0.05$ dengan $X \sim Poisson(3)$. 3. Hitung $P(X \leq k) = \sum_{i=0}^k \frac{3^i e^{-3}}{i!}$ dan cari $k$. 6. 1. Peluang bertahan setidaknya 7 tahun: $$P(X \geq 7) = 1 - F(7) = 1 - \int_0^7 f(x) dx$$ 2. Peluang bersyarat bertahan 3.5 tahun lagi: $$P(X \geq 10.5 | X \geq 7) = \frac{P(X \geq 10.5)}{P(X \geq 7)}$$ 7. 1. Rata-rata: $$E(X) = \int_0^1 x \cdot 30x(1-x)^4 dx = 30 \int_0^1 x^2 (1-x)^4 dx$$ 2. Variansi dan simpangan baku dihitung dari $E(X^2)$ dan $E(X)$. 3. Peluang klaim melebihi 0.2: $$P(X > 0.2) = \int_{0.2}^1 30x(1-x)^4 dx$$ 8. 1. Distribusi waktu $W$ sampai hitungan ke-7 adalah Gamma dengan parameter $\alpha=7$, $\beta=1/16$. 2. Probabilitas $P(W \leq 0.5)$ dihitung dari fungsi distribusi Gamma. 9. 1. CDF: $$F(x) = 1 - e^{-\frac{x-\delta}{\theta}}, \quad x > \delta$$ 2. Rata-rata: $$E(X) = \delta + \theta$$ 3. Variansi: $$Var(X) = \theta^2$$ 10. 1. Laju kedatangan $\lambda = 5/10 = 0.5$ mobil per menit. 2. Waktu menunggu sampai mobil ke-8 adalah Gamma dengan $\alpha=8$, $\beta=2$. 3. Probabilitas menunggu lebih dari 26.5 menit: $$P(T > 26.5) = 1 - F_{Gamma}(26.5; 8, 2)$$