1. সমস্যা: দুটি বাক্স থেকে একটিতে সমসময়ের ভিত্তিতে একটি বাক্স নির্বাচন করা হয়। প্রথম বাক্সে ৩টি সাদা এবং ৫টি লাল বল, দ্বিতীয় বাক্সে ৪টি সাদা এবং ৯টি লাল বল রয়েছে। যে বলটি বেছে নেওয়া হয়েছে তা সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা কত? এবং যদি বলটি সাদা হয়, তাহলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে নেওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো। 2. আমরা ধরি: - প্রথম বাক্স নির্বাচন করার সম্ভাবনা $P(B_1) = \frac{1}{2}$ - দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচন করার সম্ভাবনা $P(B_2) = \frac{1}{2}$ 3. প্রথম বাক্স থেকে সাদা বল টানা হলে সম্ভাবনা: $$P(S|B_1) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$$ 4. দ্বিতীয় বাক্স থেকে সাদা বল টানা হলে সম্ভাবনা: $$P(S|B_2) = \frac{4}{4+9} = \frac{4}{13}$$ 5. মোট সাদা বলের সম্ভাবনা (মোট সম্ভাবনা সূত্র): $$P(S) = P(B_1)P(S|B_1) + P(B_2)P(S|B_2) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{13} = \frac{3}{16} + \frac{2}{13} = \frac{3 \times 13}{16 \times 13} + \frac{2 \times 16}{13 \times 16} = \frac{39}{208} + \frac{32}{208} = \frac{71}{208}$$ 6. এখন, যদি বলটি সাদা হয়, তাহলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে নেওয়া হয়েছে এমন সম্ভাবনা (বায়েজ সূত্র): $$P(B_2|S) = \frac{P(B_2)P(S|B_2)}{P(S)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{13}}{\frac{71}{208}} = \frac{\frac{4}{26}}{\frac{71}{208}} = \frac{4}{26} \times \frac{208}{71} = \frac{4 \times 208}{26 \times 71} = \frac{832}{1846} = \frac{416}{923}$$ সুতরাং, সাদা বল টানার সম্ভাবনা $\frac{71}{208}$ এবং যদি বলটি সাদা হয়, তাহলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে নেওয়ার সম্ভাবনা $\frac{416}{923}$।