1. সমস্যাটি হলো: একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল $X$ এর প্রোবাবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশন দেওয়া আছে: $$f(x) = \frac{x+1}{8}, \quad x = 0, 2, 3$$ এখন, $X$ থেকে স্যাম্পল সাইজ ২ নেওয়া হলে স্যাম্পল টোটালের স্যাম্পলিং ডিস্ট্রিবিউশন বের করতে হবে এবং তার mean ও variance নির্ণয় করতে হবে। 2. প্রথমে $X$ এর সম্ভাব্য মান এবং তাদের প্রোবাবিলিটি লিখি: - $P(X=0) = \frac{0+1}{8} = \frac{1}{8}$ - $P(X=2) = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}$ - $P(X=3) = \frac{3+1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ 3. স্যাম্পল সাইজ ২ থেকে স্যাম্পল টোটাল $T = X_1 + X_2$ হবে। যেহেতু স্যাম্পলিং উইথ রিপ্লেসমেন্ট, তাই $X_1$ এবং $X_2$ স্বাধীন এবং একই ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে। 4. স্যাম্পল টোটালের সম্ভাব্য মান এবং তাদের প্রোবাবিলিটি নির্ণয় করি: সম্ভাব্য মানগুলো হলো $0+0=0$, $0+2=2$, $0+3=3$, $2+2=4$, $2+3=5$, $3+3=6$ 5. প্রতিটি মানের প্রোবাবিলিটি: - $P(T=0) = P(X_1=0)P(X_2=0) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{64}$ - $P(T=2) = P(X_1=0)P(X_2=2) + P(X_1=2)P(X_2=0) = \frac{1}{8} \times \frac{3}{8} + \frac{3}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{64} + \frac{3}{64} = \frac{6}{64}$ - $P(T=3) = P(X_1=0)P(X_2=3) + P(X_1=3)P(X_2=0) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{8}{64}$ - $P(T=4) = P(X_1=2)P(X_2=2) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$ - $P(T=5) = P(X_1=2)P(X_2=3) + P(X_1=3)P(X_2=2) = \frac{3}{8} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{24}{64}$ - $P(T=6) = P(X_1=3)P(X_2=3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{16}{64}$ 6. যাচাই করি প্রোবাবিলিটির যোগফল ১ কিনা: $$\frac{1}{64} + \frac{6}{64} + \frac{8}{64} + \frac{9}{64} + \frac{24}{64} + \frac{16}{64} = \frac{64}{64} = 1$$ 7. এখন স্যাম্পল টোটালের mean নির্ণয় করি: $$E(T) = \sum t \cdot P(T=t) = 0 \times \frac{1}{64} + 2 \times \frac{6}{64} + 3 \times \frac{8}{64} + 4 \times \frac{9}{64} + 5 \times \frac{24}{64} + 6 \times \frac{16}{64}$$ $$= 0 + \frac{12}{64} + \frac{24}{64} + \frac{36}{64} + \frac{120}{64} + \frac{96}{64} = \frac{288}{64} = 4.5$$ 8. $X$ এর mean $\mu$ এবং variance $\sigma^2$ হিসাব করি: $$E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{4}{8} = 0 + \frac{6}{8} + \frac{12}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$$ $$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{4}{8} = 0 + \frac{12}{8} + \frac{36}{8} = \frac{48}{8} = 6$$ $$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 6 - (2.25)^2 = 6 - 5.0625 = 0.9375$$ 9. স্যাম্পল টোটালের variance: যেহেতু $T = X_1 + X_2$ এবং $X_1, X_2$ স্বাধীন, $$Var(T) = Var(X_1) + Var(X_2) = 2 \times Var(X) = 2 \times 0.9375 = 1.875$$ সুতরাং, স্যাম্পল টোটালের mean = $4.5$ এবং variance = $1.875$।