1. مسئله را بیان می‌کنیم: تابع احتمال گسسته $f_X(x) = \frac{1}{4}$ برای مقادیر $x = 0, 1, 2, 3$ داده شده است. هدف بررسی صحت تابع احتمال و محاسبه مقادیر مرتبط است. 2. فرمول تابع احتمال گسسته: برای یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع احتمال‌ها باید برابر 1 باشد: $$\sum_{x} f_X(x) = 1$$ 3. بررسی تابع احتمال داده شده: $$f_X(0) = \frac{1}{4}, \quad f_X(1) = \frac{1}{4}, \quad f_X(2) = \frac{1}{4}, \quad f_X(3) = \frac{1}{4}$$ 4. مجموع احتمال‌ها را محاسبه می‌کنیم: $$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$$ 5. بنابراین، تابع احتمال معتبر است و توزیع یکنواخت روی مقادیر $0,1,2,3$ را نشان می‌دهد. 6. اگر بخواهیم امید ریاضی (میانگین) را محاسبه کنیم، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم: $$E(X) = \sum_x x f_X(x) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{4} = \frac{0 + 1 + 2 + 3}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$ 7. واریانس را با فرمول زیر محاسبه می‌کنیم: $$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$ ابتدا $E(X^2)$ را محاسبه می‌کنیم: $$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{4} + 1^2 \times \frac{1}{4} + 2^2 \times \frac{1}{4} + 3^2 \times \frac{1}{4} = \frac{0 + 1 + 4 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$$ پس: $$Var(X) = 3.5 - (1.5)^2 = 3.5 - 2.25 = 1.25$$ نتیجه نهایی: تابع احتمال معتبر است، امید ریاضی برابر با $1.5$ و واریانس برابر با $1.25$ است.