1. Masalah: Diberikan masa pakai baterei yang berdistribusi Weibull dengan parameter shape $\alpha=\frac{1}{2}$ dan scale $\beta=2$. Kita diminta mencari: a. Nilai harapan masa pakai baterei. b. Peluang baterei masih dapat dipakai selama 2 tahun. 2. Rumus distribusi Weibull: Fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dan fungsi distribusi kumulatif (cdf) untuk variabel acak $X$ dengan parameter $\alpha$ dan $\beta$ adalah: $$f(x) = \frac{\alpha}{\beta} \left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1} e^{-\left(\frac{x}{\beta}\right)^\alpha} \quad \text{untuk } x \geq 0$$ $$F(x) = 1 - e^{-\left(\frac{x}{\beta}\right)^\alpha}$$ 3. Nilai harapan $E(X)$ dari distribusi Weibull adalah: $$E(X) = \beta \Gamma\left(1 + \frac{1}{\alpha}\right)$$ di mana $\Gamma$ adalah fungsi Gamma. 4. Hitung nilai harapan: $$E(X) = 2 \times \Gamma\left(1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}\right) = 2 \times \Gamma(1 + 2) = 2 \times \Gamma(3)$$ Karena $\Gamma(n) = (n-1)!$ untuk bilangan bulat positif, $$\Gamma(3) = 2! = 2$$ Jadi, $$E(X) = 2 \times 2 = 4$$ 5. Peluang baterei masih dapat dipakai selama 2 tahun adalah: $$P(X > 2) = 1 - F(2) = e^{-\left(\frac{2}{2}\right)^{\frac{1}{2}}} = e^{-1^{\frac{1}{2}}} = e^{-1}$$ 6. Nilai numerik: $$e^{-1} \approx 0.3679$$ Jadi, masa pakai baterei yang diharapkan adalah 4 tahun dan peluang baterei masih dapat dipakai selama 2 tahun adalah sekitar 0.3679.