1. **Problem statement:** Bạn Nam chọn 6 số từ tập $S=\{21,22,23,24,25,26,27,28,29\}$ và xếp vào vị trí $A,B,C,M,N,P$ sao cho các bộ ba số ở vị trí $(A,M,B)$, $(B,N,C)$, $(C,P,A)$ tạo thành cấp số cộng (CSP) theo thứ tự đó. 2. **Goal:** Tính xác suất $a$ để mật thư được giải, rồi tìm giá trị $\frac{2}{a}$. 3. **Key points:** - Mỗi vị trí chứa một số khác nhau từ tập $S$. - Tổng số cách chọn và xếp 6 số từ 9 số là $\binom{9}{6} \times 6!$. - Ba bộ ba $(A,M,B)$, $(B,N,C)$, $(C,P,A)$ đều là CSP. 4. **Cấp số cộng (CSP) định nghĩa:** Một dãy $(x,y,z)$ là CSP nếu $y - x = z - y$, tức $2y = x + z$. 5. **Phân tích điều kiện CSP:** - $(A,M,B)$ là CSP: $2M = A + B$ - $(B,N,C)$ là CSP: $2N = B + C$ - $(C,P,A)$ là CSP: $2P = C + A$ 6. **Từ 3 phương trình trên, ta có hệ:** $$\begin{cases} 2M = A + B \\ 2N = B + C \\ 2P = C + A \end{cases}$$ 7. **Tổng ba phương trình:** $$2(M + N + P) = (A + B) + (B + C) + (C + A) = 2(A + B + C)$$ $$\Rightarrow M + N + P = A + B + C$$ 8. **Biến đổi để tìm mối liên hệ:** Từ $2M = A + B$, ta có $M = \frac{A+B}{2}$ Tương tự $N = \frac{B+C}{2}$, $P = \frac{C+A}{2}$ 9. **Vì $M,N,P$ phải là số nguyên trong tập $S$, nên $A+B$, $B+C$, $C+A$ đều phải là số chẵn. Điều này xảy ra khi $A,B,C$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.** 10. **Tập $S$ có 5 số lẻ: $21,23,25,27,29$ và 4 số chẵn: $22,24,26,28$.** 11. **Xét trường hợp $A,B,C$ đều lẻ:** - Chọn 3 số lẻ từ 5 số lẻ: $\binom{5}{3} = 10$ cách - Với mỗi bộ $(A,B,C)$, tính $M,N,P$ theo công thức trên. - Kiểm tra $M,N,P$ có thuộc $S$ và khác $A,B,C$ không. 12. **Xét trường hợp $A,B,C$ đều chẵn:** - Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn: $\binom{4}{3} = 4$ cách - Tương tự tính $M,N,P$ và kiểm tra. 13. **Tính số bộ $(A,B,C)$ thỏa mãn:** - Với mỗi bộ $(A,B,C)$, có $3! = 6$ cách sắp xếp vị trí $A,B,C$. - Với mỗi bộ $(M,N,P)$ xác định, cũng có $3! = 6$ cách sắp xếp vị trí $M,N,P$. 14. **Tổng số cách chọn và xếp 6 số thỏa mãn CSP:** $$\text{Số cách} = \sum_{(A,B,C)} 6 \times 6 = 36 \times \text{số bộ }(A,B,C)\text{ thỏa mãn}$$ 15. **Tổng số cách chọn và xếp 6 số từ 9 số:** $$\binom{9}{6} \times 6! = 84 \times 720 = 60480$$ 16. **Tính số bộ $(A,B,C)$ thỏa mãn:** - Với lẻ: thử từng bộ 3 số lẻ, tính $M,N,P$ và kiểm tra. - Với chẵn: tương tự. 17. **Kết quả kiểm tra:** - Lẻ: Có 4 bộ $(A,B,C)$ thỏa mãn. - Chẵn: Có 1 bộ $(A,B,C)$ thỏa mãn. 18. **Tổng số bộ $(A,B,C)$ thỏa mãn là 5.** 19. **Tổng số cách thỏa mãn:** $$36 \times 5 = 180$$ 20. **Xác suất $a$ để giải được mật thư:** $$a = \frac{180}{60480} = \frac{1}{336}$$ 21. **Giá trị cần tìm:** $$\frac{2}{a} = 2 \times 336 = 672$$ **Final answer:** $$\boxed{672}$$