1. **Enunciado do problema:** Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área total não superior a 160 hectares. Ele quer semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho. O custo de produção por hectare é 1500 para trigo e 1000 para milho. O lucro por hectare é 600 para trigo e 500 para milho. O investimento máximo é 200000. Queremos determinar quantos hectares de trigo e milho devem ser semeados para maximizar o lucro. 2. **Definição das variáveis:** Seja $x$ o número de hectares de trigo e $y$ o número de hectares de milho. 3. **Restrições do problema:** - Área total: $$x + y \leq 160$$ - Área mínima de trigo: $$x \geq 50$$ - Área mínima de milho: $$y \geq 30$$ - Custo máximo: $$1500x + 1000y \leq 200000$$ 4. **Função objetivo (lucro a maximizar):** $$L = 600x + 500y$$ 5. **Análise das restrições:** - De $x + y \leq 160$, temos $y \leq 160 - x$. - De $1500x + 1000y \leq 200000$, isolamos $y$: $$1000y \leq 200000 - 1500x$$ $$y \leq \frac{200000 - 1500x}{1000} = 200 - 1.5x$$ 6. **Intervalos para $x$ e $y$:** - $x \geq 50$ - $y \geq 30$ - $y \leq \min(160 - x, 200 - 1.5x)$ 7. **Encontrar os vértices do polígono viável para maximizar o lucro:** Os vértices são os pontos onde as restrições se cruzam: - Ponto A: $(x,y) = (50,30)$ (mínimos) - Ponto B: Interseção entre $y = 30$ e $x + y = 160$: $$x + 30 = 160 \Rightarrow x = 130$$ - Ponto C: Interseção entre $y = 30$ e $1500x + 1000y = 200000$: $$1500x + 1000 \times 30 = 200000$$ $$1500x + 30000 = 200000$$ $$1500x = 170000$$ $$x = \frac{170000}{1500} = 113.33$$ - Ponto D: Interseção entre $x = 50$ e $1500x + 1000y = 200000$: $$1500 \times 50 + 1000y = 200000$$ $$75000 + 1000y = 200000$$ $$1000y = 125000$$ $$y = 125$$ - Ponto E: Interseção entre $x + y = 160$ e $1500x + 1000y = 200000$: Substituindo $y = 160 - x$ na segunda: $$1500x + 1000(160 - x) = 200000$$ $$1500x + 160000 - 1000x = 200000$$ $$500x = 40000$$ $$x = 80$$ $$y = 160 - 80 = 80$$ 8. **Verificar quais pontos satisfazem as restrições de mínimos:** - Ponto A: $(50,30)$ válido - Ponto B: $(130,30)$ válido - Ponto C: $(113.33,30)$ válido - Ponto D: $(50,125)$ válido - Ponto E: $(80,80)$ válido 9. **Calcular o lucro em cada ponto:** - A: $600 \times 50 + 500 \times 30 = 30000 + 15000 = 45000$ - B: $600 \times 130 + 500 \times 30 = 78000 + 15000 = 93000$ - C: $600 \times 113.33 + 500 \times 30 = 68000 + 15000 = 83000$ - D: $600 \times 50 + 500 \times 125 = 30000 + 62500 = 92500$ - E: $600 \times 80 + 500 \times 80 = 48000 + 40000 = 88000$ 10. **Conclusão:** O lucro máximo é $93000$ obtido no ponto B, ou seja, semear $130$ hectares de trigo e $30$ hectares de milho. **Resposta final:** O agricultor deve semear **130 hectares de trigo** e **30 hectares de milho** para obter o lucro máximo de **93000**.