1. **Enunciado do problema:** Um empreiteiro quer maximizar o lucro construindo andares de prédios e vivendas, com restrições no número total de habitações e no orçamento. 2. **Definição das variáveis:** - Seja $x$ o número de andares construídos. - Seja $y$ o número de vivendas construídas. 3. **Função objetivo (lucro total):** $$L = 11000x + 12000y$$ 4. **Restrições:** - Número máximo de habitações: $$x + y \leq 50$$ - Orçamento máximo: $$7000x + 13000y \leq 560000$$ - Não negatividade: $$x \geq 0, y \geq 0$$ 5. **Resolver o sistema para maximizar $L$:** 6. Encontrar os pontos extremos do polígono formado pelas restrições: - Interseção entre $$x + y = 50$$ e $$7000x + 13000y = 560000$$: $$x + y = 50 \Rightarrow y = 50 - x$$ Substituindo na segunda: $$7000x + 13000(50 - x) = 560000$$ $$7000x + 650000 - 13000x = 560000$$ $$-6000x = -90000$$ $$x = \frac{90000}{6000} = 15$$ Logo, $$y = 50 - 15 = 35$$ 7. Avaliar $L$ nos vértices: - No ponto $(0,0)$: $$L = 11000 \times 0 + 12000 \times 0 = 0$$ - No ponto $(0,50)$: $$L = 11000 \times 0 + 12000 \times 50 = 600000$$ - No ponto $(50,0)$: $$L = 11000 \times 50 + 12000 \times 0 = 550000$$ - No ponto $(15,35)$: $$L = 11000 \times 15 + 12000 \times 35 = 165000 + 420000 = 585000$$ 8. **Conclusão:** O lucro máximo é $$585000$$ obtido com $$15$$ andares e $$35$$ vivendas.