1.1 Problema: Determinar a região admissível e os vértices do sistema: $$\begin{cases} 2x + 8y \leq 24 \\ x + y \leq 4 \\ y \geq 0 \\ x \geq 0 \end{cases}$$ 1. Fórmulas e regras: - A região admissível é a interseção das áreas definidas pelas inequações. - Os vértices são os pontos de interseção das retas que formam as fronteiras. 2. Encontrar interseções das retas: - Da reta $2x + 8y = 24$, isolamos $y$: $$y = \frac{24 - 2x}{8} = 3 - \frac{x}{4}$$ - Da reta $x + y = 4$, isolamos $y$: $$y = 4 - x$$ 3. Encontrar vértices: - Interseção com os eixos: - Quando $x=0$ em $2x + 8y = 24$: $$2\cdot0 + 8y = 24 \Rightarrow y=3$$ - Quando $y=0$ em $2x + 8y = 24$: $$2x + 0 = 24 \Rightarrow x=12$$ (fora da restrição $x+y \leq 4$) - Interseção das duas retas: $$\begin{cases} 2x + 8y = 24 \\ x + y = 4 \end{cases}$$ Substituindo $y=4-x$ na primeira: $$2x + 8(4 - x) = 24$$ $$2x + 32 - 8x = 24$$ $$-6x = -8$$ $$x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ $$y = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$ 4. Verificar se os pontos satisfazem as restrições: - Vértices: - $(0,0)$ - $(0,3)$ - $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ - $(4,0)$ (verificar se satisfaz $2x + 8y \leq 24$): $$2\cdot4 + 8\cdot0 = 8 \leq 24$$ sim, mas $x + y = 4 + 0 = 4$ está na fronteira. 5. Região admissível é o polígono com vértices $(0,0)$, $(0,3)$, $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$, e $(4,0)$. --- 1.2 Problema: Determinar a região admissível e os vértices do sistema: $$\begin{cases} 2x - y \leq 6 \\ x + y \leq 12 \\ y \geq 4 \\ x \geq 2 \end{cases}$$ 1. Isolar $y$ nas retas: - $2x - y = 6 \Rightarrow y = 2x - 6$ - $x + y = 12 \Rightarrow y = 12 - x$ 2. Encontrar interseções: - Interseção das duas retas: $$\begin{cases} y = 2x - 6 \\ y = 12 - x \end{cases}$$ Igualando: $$2x - 6 = 12 - x$$ $$3x = 18$$ $$x = 6$$ $$y = 2\cdot6 - 6 = 6$$ 3. Verificar restrições nos vértices: - $x \geq 2$, $y \geq 4$ - Pontos de interseção com as restrições: - $x=2$, $y=4$ - Interseção da reta $y=4$ com $2x - y \leq 6$: $$2x - 4 \leq 6 \Rightarrow 2x \leq 10 \Rightarrow x \leq 5$$ - Interseção da reta $y=4$ com $x + y \leq 12$: $$x + 4 \leq 12 \Rightarrow x \leq 8$$ 4. Vértices da região admissível: - $(2,4)$ (interseção das restrições $x=2$ e $y=4$) - $(5,4)$ (interseção de $y=4$ com $2x - y = 6$) - $(6,6)$ (interseção das duas retas) - $(2,10)$ (interseção de $x=2$ com $x + y = 12$) --- 2.1 Problema: Determinar a região admissível e os vértices do sistema: $$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x \leq 2 \\ x + y \leq 3 \\ 2x + 3y \geq 8 \end{cases}$$ 1. Encontrar interseções das retas: - $x = 0$ e $y = 0$ são os eixos. - $x = 2$ é uma linha vertical. - $x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - x$ - $2x + 3y = 8 \Rightarrow y = \frac{8 - 2x}{3}$ 2. Encontrar pontos de interseção: - Interseção de $x=2$ com $x + y = 3$: $$2 + y = 3 \Rightarrow y = 1$$ - Interseção de $x=2$ com $2x + 3y = 8$: $$2\cdot2 + 3y = 8 \Rightarrow 4 + 3y = 8 \Rightarrow 3y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$$ - Interseção de $x + y = 3$ com $2x + 3y = 8$: $$\begin{cases} y = 3 - x \\ 2x + 3y = 8 \end{cases}$$ Substituindo: $$2x + 3(3 - x) = 8$$ $$2x + 9 - 3x = 8$$ $$-x = -1$$ $$x = 1$$ $$y = 3 - 1 = 2$$ 3. Verificar quais pontos satisfazem $2x + 3y \geq 8$ e outras restrições: - $(2,1)$: $2\cdot2 + 3\cdot1 = 4 + 3 = 7 < 8$ não satisfaz - $(2, \frac{4}{3})$: $2\cdot2 + 3\cdot\frac{4}{3} = 4 + 4 = 8$ satisfaz - $(1,2)$: $2\cdot1 + 3\cdot2 = 2 + 6 = 8$ satisfaz 4. Região admissível é o polígono com vértices: - $(2, \frac{4}{3})$ - $(1, 2)$ - $(2, 3 - 2) = (2,1)$ não satisfaz, então não está na região - $(2,0)$ e $(0,0)$ também são considerados para limites --- 2.2 Problema: Encontrar valor máximo e mínimo da função objetivo $$L = 2x + y$$ na região admissível do problema 2.1. 1. Avaliar $L$ nos vértices da região admissível: - Em $(2, \frac{4}{3})$: $$L = 2\cdot2 + \frac{4}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33$$ - Em $(1, 2)$: $$L = 2\cdot1 + 2 = 4$$ - Em $(2, 0)$: $$L = 2\cdot2 + 0 = 4$$ - Em $(0,0)$: $$L = 0$$ 2. Conclusão: - Valor máximo de $L$ é $\frac{16}{3} \approx 5.33$ em $(2, \frac{4}{3})$. - Valor mínimo de $L$ é $0$ em $(0,0)$. --- 3. Problema: Maximizar $L = 2x + 3y$ na região delimitada pelas linhas dadas. 1. As linhas são: - $y = -2x + 32$ - $y = -\frac{2}{3}x + 16$ 2. Encontrar interseção: $$-2x + 32 = -\frac{2}{3}x + 16$$ Multiplicando por 3: $$-6x + 96 = -2x + 48$$ $$-6x + 96 + 2x - 48 = 0$$ $$-4x + 48 = 0$$ $$4x = 48$$ $$x = 12$$ $$y = -2\cdot12 + 32 = 8$$ 3. Avaliar $L$ no vértice $(12,8)$: $$L = 2\cdot12 + 3\cdot8 = 24 + 24 = 48$$ --- 4. Problema: Agricultor com 100 hectares, máximo 30 hectares tomate. 1. Variáveis: - $x$: hectares de centeio - $y$: hectares de tomate 2. Restrições: $$\begin{cases} x + y \leq 100 \\ y \leq 30 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases}$$ 3. Função lucro: $$L = 800x + 1000y$$ 4. Vértices da região admissível: - $(0,0)$ - $(0,30)$ - $(70,30)$ (pois $x + 30 = 100 \Rightarrow x=70$) - $(100,0)$ 5. Avaliar $L$ nos vértices: - $(0,0)$: $L=0$ - $(0,30)$: $L=1000\cdot30=30000$ - $(70,30)$: $L=800\cdot70 + 1000\cdot30 = 56000 + 30000 = 86000$ - $(100,0)$: $L=800\cdot100=80000$ 6. Máximo lucro é $86000$ em $(70,30)$. --- 5. Problema: Mercearia com 200 chocolates leite e 100 avelã. 1. Variáveis: - $x$: pacotes tipo 1 - $y$: pacotes tipo 2 2. Restrições: $$\begin{cases} 2x + 6y \leq 200 \\ 2x + 2y \leq 100 \\ x,y \geq 0 \end{cases}$$ 3. Função faturação: $$F = 5x + 6y$$ 4. Encontrar vértices: - Interseção das restrições: $$\begin{cases} 2x + 6y = 200 \\ 2x + 2y = 100 \end{cases}$$ Subtraindo a segunda da primeira: $$2x + 6y - (2x + 2y) = 200 - 100$$ $$4y = 100$$ $$y = 25$$ Substituindo em $2x + 2y = 100$: $$2x + 2\cdot25 = 100$$ $$2x + 50 = 100$$ $$2x = 50$$ $$x = 25$$ 5. Avaliar $F$ nos vértices: - $(0,0)$: $F=0$ - $(0,50)$ (de $2x + 2y \leq 100$ com $x=0$): $F=6\cdot50=300$ - $(100,0)$ (de $2x + 6y \leq 200$ com $y=0$): $F=5\cdot100=500$ - $(25,25)$: $F=5\cdot25 + 6\cdot25 = 125 + 150 = 275$ 6. Máxima faturação é 500 com 100 pacotes tipo 1 e 0 do tipo 2. --- 6. Problema: Empresa com embalagens tipo A (50kg) e B (30kg). 1. Variáveis: - $x$: embalagens tipo A - $y$: embalagens tipo B 2. Restrições: $$\begin{cases} 50x + 30y \leq 1000 \\ x \leq 12 \\ y \leq 15 \\ x,y \geq 0 \end{cases}$$ 3. Função lucro: $$L = 25(x + y)$$ 4. Resolver sem programação linear: - Maximizar $x + y$ sujeito às restrições. - Limite de peso: $50x + 30y \leq 1000$ - Limites máximos: $x \leq 12$, $y \leq 15$ 5. Testar vértices: - $(12,15)$: peso $= 50\cdot12 + 30\cdot15 = 600 + 450 = 1050 > 1000$ não válido - $(12,y)$ com $y$ máximo: $$50\cdot12 + 30y \leq 1000$$ $$600 + 30y \leq 1000$$ $$30y \leq 400$$ $$y \leq \frac{400}{30} = 13.33$$ Como $y \leq 15$, $y=13$ máximo inteiro. - $(12,13)$: peso $= 600 + 390 = 990 \leq 1000$ - $(x,15)$ com $x$ máximo: $$50x + 30\cdot15 \leq 1000$$ $$50x + 450 \leq 1000$$ $$50x \leq 550$$ $$x \leq 11$$ - $(11,15)$: peso $= 550 + 450 = 1000$ válido. 6. Avaliar lucro: - $(12,13)$: $L = 25(12 + 13) = 25\cdot25 = 625$ - $(11,15)$: $L = 25(11 + 15) = 25\cdot26 = 650$ 7. Solução ótima: usar 11 embalagens tipo A e 15 tipo B para lucro máximo de 650.