1. **Enunciado do problema:** Queremos determinar os valores de $x$ (quilogramas de Granulado) e $y$ (quilogramas de Farinha) para que o suplemento diário dado a cada animal adulto satisfaça as restrições nutricionais e de quantidade, minimizando o custo total. 2. **Definição das variáveis:** $x$ = quilogramas de Granulado $y$ = quilogramas de Farinha 3. **Restrições nutricionais:** - Hidratos de carbono: cada kg de Granulado tem 30g, cada kg de Farinha tem 75g, total deve ser pelo menos 300g. $$30x + 75y \geq 300$$ - Vitaminas: cada kg de Granulado tem 75g, cada kg de Farinha tem 15g, total deve ser pelo menos 225g. $$75x + 15y \geq 225$$ - Proteínas: cada kg de Granulado tem 45g, cada kg de Farinha tem 45g, total deve ser pelo menos 315g. $$45x + 45y \geq 315$$ 4. **Restrições de quantidade:** - Granulado não pode exceder 10 kg: $$x \leq 10$$ - Farinha não pode exceder 15 kg: $$y \leq 15$$ - Além disso, $x \geq 0$ e $y \geq 0$ pois não faz sentido quantidade negativa. 5. **Função objetivo (custo a minimizar):** - Custo do Granulado: 5 por kg - Custo da Farinha: 2.5 por kg $$C(x,y) = 5x + 2.5y$$ 6. **Resumindo o problema de programação linear:** Minimizar $$C = 5x + 2.5y$$ sujeito a: $$30x + 75y \geq 300$$ $$75x + 15y \geq 225$$ $$45x + 45y \geq 315$$ $$x \leq 10$$ $$y \leq 15$$ $$x \geq 0, y \geq 0$$ 7. **Simplificando as desigualdades:** - Dividindo a primeira por 15: $$\frac{30x}{15} + \frac{75y}{15} \geq \frac{300}{15} \Rightarrow 2x + 5y \geq 20$$ - Dividindo a segunda por 15: $$\frac{75x}{15} + \frac{15y}{15} \geq \frac{225}{15} \Rightarrow 5x + y \geq 15$$ - Dividindo a terceira por 45: $$\frac{45x}{45} + \frac{45y}{45} \geq \frac{315}{45} \Rightarrow x + y \geq 7$$ 8. **Encontrar os vértices do polígono viável:** Vamos encontrar os pontos de interseção das restrições para avaliar o custo. - Interseção de $2x + 5y = 20$ e $5x + y = 15$: Multiplicando a segunda por 5: $$25x + 5y = 75$$ Subtraindo a primeira: $$25x + 5y - (2x + 5y) = 75 - 20 \Rightarrow 23x = 55 \Rightarrow x = \frac{55}{23} \approx 2.39$$ Substituindo em $5x + y = 15$: $$5(2.39) + y = 15 \Rightarrow 11.95 + y = 15 \Rightarrow y = 3.05$$ - Interseção de $2x + 5y = 20$ e $x + y = 7$: Da segunda: $y = 7 - x$ Substituindo na primeira: $$2x + 5(7 - x) = 20 \Rightarrow 2x + 35 - 5x = 20 \Rightarrow -3x = -15 \Rightarrow x = 5$$ Então $y = 7 - 5 = 2$ - Interseção de $5x + y = 15$ e $x + y = 7$: Subtraindo: $$(5x + y) - (x + y) = 15 - 7 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$$ Substituindo em $x + y = 7$: $$2 + y = 7 \Rightarrow y = 5$$ 9. **Verificar restrições de quantidade para esses pontos:** - Todos têm $x \leq 10$ e $y \leq 15$, e $x,y \geq 0$, então são válidos. 10. **Calcular o custo em cada vértice:** - Para $(2.39, 3.05)$: $$C = 5(2.39) + 2.5(3.05) = 11.95 + 7.625 = 19.575$$ - Para $(5, 2)$: $$C = 5(5) + 2.5(2) = 25 + 5 = 30$$ - Para $(2, 5)$: $$C = 5(2) + 2.5(5) = 10 + 12.5 = 22.5$$ 11. **Conclusão:** O custo mínimo é aproximadamente 19.575, obtido com $x \approx 2.39$ kg de Granulado e $y \approx 3.05$ kg de Farinha. **Resposta final:** O suplemento diário deve conter cerca de 2.39 kg de Granulado e 3.05 kg de Farinha para minimizar o custo, respeitando todas as restrições.