1. **Plantear el problema:** Se desea maximizar la ganancia de una empresa que produce jugo de naranja y jugo de piña. 2. **Definir variables:** Sea $x$ el número de cajas de jugo de naranja y $y$ el número de cajas de jugo de piña. 3. **Restricciones de tiempo:** - Mezcla: cada caja de jugo de naranja requiere 2 horas y cada caja de jugo de piña 1 hora. - Embotellado: cada caja de jugo de naranja requiere 1 hora y cada caja de jugo de piña 2 horas. 4. **Formular las desigualdades:** $$ \begin{cases} 2x + y \leq 24 \\ x + 2y \leq 18 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases} $$ 5. **Función objetivo (ganancia):** $$ Z = 30x + 40y $$ 6. **Encontrar los vértices del área factible:** - Intersección de $2x + y = 24$ y $x + 2y = 18$: $$ \text{Multiplicamos la segunda por 2: } 2x + 4y = 36 $$ $$ \text{Restamos la primera: } (2x + 4y) - (2x + y) = 36 - 24 \Rightarrow 3y = 12 \Rightarrow y = 4 $$ $$ \text{Sustituimos en } 2x + y = 24: 2x + 4 = 24 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10 $$ - Otros vértices: - Cuando $x=0$: $y \leq 12$ y $2y \leq 18 \Rightarrow y \leq 9$, entonces $y=9$ - Cuando $y=0$: $2x \leq 24 \Rightarrow x \leq 12$ y $x \leq 18$, entonces $x=12$ 7. **Evaluar la función objetivo en los vértices:** - En $(0,9)$: $Z = 30(0) + 40(9) = 360$ - En $(12,0)$: $Z = 30(12) + 40(0) = 360$ - En $(10,4)$: $Z = 30(10) + 40(4) = 300 + 160 = 460$ 8. **Conclusión:** La ganancia máxima es $460$ obtenida produciendo $10$ cajas de jugo de naranja y $4$ cajas de jugo de piña.