1. **Planteamiento del problema:** Queremos determinar cuántas láminas ($x$) y varillas ($y$) debe producir la empresa para maximizar la utilidad total. 2. **Variables:** - $x$: cantidad diaria de láminas producidas - $y$: cantidad diaria de varillas producidas 3. **Función objetivo:** Maximizar la utilidad total $$Z = 40x + 35y$$ 4. **Restricciones:** - Capacidad máxima de producción: $$x \leq 800$$ y $$y \leq 600$$ - Demanda máxima del mercado: $$x \leq 550$$ y $$y \leq 580$$ 5. **Restricciones combinadas:** Para láminas: $$x \leq \min(800, 550) = 550$$ Para varillas: $$y \leq \min(600, 580) = 580$$ 6. **Restricciones de no negatividad:** $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$ 7. **Modelo completo:** $$\text{Maximizar } Z = 40x + 35y$$ $$\text{sujeto a:}$$ $$x \leq 550$$ $$y \leq 580$$ $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$ 8. **Solución:** Para maximizar $Z$, se debe producir la mayor cantidad posible dentro de las restricciones. 9. **Evaluamos la función objetivo en los vértices del área factible:** - En $(x,y) = (0,0)$: $$Z=0$$ - En $(550,0)$: $$Z=40 \times 550 + 35 \times 0 = 22000$$ - En $(0,580)$: $$Z=40 \times 0 + 35 \times 580 = 20300$$ - En $(550,580)$: $$Z=40 \times 550 + 35 \times 580 = 22000 + 20300 = 42300$$ 10. **Conclusión:** La utilidad máxima es $$Z=42300$$ cuando se producen $$550$$ láminas y $$580$$ varillas diariamente.