1. **Planteamiento del problema:** Queremos maximizar la utilidad de la producción de dos tipos de alimentos para gatos: Miau Miau y Bigotes Limpios. 2. **Variables:** Sea $x$ la cantidad (en libras) de Miau Miau y $y$ la cantidad (en libras) de Bigotes Limpios. 3. **Restricciones:** - Pescado seco: cada libra de Miau Miau usa 10 onzas, cada libra de Bigotes Limpios usa 7 onzas, y el molino puede operar hasta 390 onzas por hora. $$10x + 7y \leq 390$$ - Harina de trigo: cada libra de Miau Miau usa 6 onzas, cada libra de Bigotes Limpios usa 9 onzas, y el molino puede operar hasta 240 onzas por hora. $$6x + 9y \leq 240$$ - No negatividad: $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$ 4. **Función objetivo:** Maximizar la utilidad total: $$Z = 1.00x + 0.75y$$ 5. **Método gráfico:** Graficamos las restricciones para encontrar la región factible. 6. **Encontrar puntos de intersección:** - Intersección con ejes: - Para $10x + 7y = 390$: - Si $x=0$, $y=\frac{390}{7} \approx 55.71$ - Si $y=0$, $x=\frac{390}{10} = 39$ - Para $6x + 9y = 240$: - Si $x=0$, $y=\frac{240}{9} \approx 26.67$ - Si $y=0$, $x=\frac{240}{6} = 40$ - Intersección entre las dos restricciones: $$\begin{cases} 10x + 7y = 390 \\ 6x + 9y = 240 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por $-\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$ para eliminar $x$: $$-\frac{5}{3} \times (6x + 9y) = -\frac{5}{3} \times 240$$ $$-10x - 15y = -400$$ Sumamos con la primera ecuación: $$10x + 7y = 390$$ $$-10x - 15y = -400$$ $$\cancel{10x} + 7y - \cancel{10x} - 15y = 390 - 400$$ $$-8y = -10$$ $$y = \frac{-10}{-8} = 1.25$$ Sustituimos $y=1.25$ en la primera ecuación: $$10x + 7(1.25) = 390$$ $$10x + 8.75 = 390$$ $$10x = 390 - 8.75 = 381.25$$ $$x = \frac{381.25}{10} = 38.125$$ 7. **Evaluar la función objetivo en los vértices de la región factible:** - En $(0,0)$: $$Z = 1.00(0) + 0.75(0) = 0$$ - En $(0, 26.67)$: $$Z = 1.00(0) + 0.75(26.67) = 20.00$$ - En $(39, 0)$: $$Z = 1.00(39) + 0.75(0) = 39$$ - En $(38.125, 1.25)$: $$Z = 1.00(38.125) + 0.75(1.25) = 38.125 + 0.9375 = 39.0625$$ 8. **Conclusión:** La utilidad máxima es $39.0625$ unidades monetarias, produciendo aproximadamente $38.125$ libras de Miau Miau y $1.25$ libras de Bigotes Limpios.