1. **Planteamiento del problema:** Queremos determinar la cantidad de cada producto (Producto 1, 2, 3 y 4) que debe fabricar la compañía para maximizar la utilidad total, dadas las restricciones de materiales A, B y C. 2. **Variables:** Sea $x_1, x_2, x_3, x_4$ las cantidades a producir de Producto 1, 2, 3 y 4 respectivamente. 3. **Función objetivo (utilidad total):** $$\text{Maximizar } Z = 50x_1 + 35x_2 + 75x_3 + 20x_4$$ 4. **Restricciones de materiales:** - Material A: $$1x_1 + 1x_2 + 3x_3 + 2x_4 \leq 750$$ - Material B: $$2x_1 + 2x_2 + 1x_3 + 3x_4 \leq 900$$ - Material C: $$4x_1 + 1x_2 + 2x_3 + 5x_4 \leq 1200$$ 5. **Restricciones de no negatividad:** $$x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$$ 6. **Resolución:** Este es un problema de programación lineal que se puede resolver con métodos como el simplex. Aquí se presenta una solución aproximada usando análisis y prueba de vértices. 7. **Análisis simplificado:** Para maximizar utilidad, priorizamos productos con mayor utilidad por unidad y menor consumo de recursos. 8. **Intentamos producir solo Producto 3 (mayor utilidad 75):** Material A: $3x_3 \leq 750 \Rightarrow x_3 \leq 250$ Material B: $1x_3 \leq 900 \Rightarrow x_3 \leq 900$ Material C: $2x_3 \leq 1200 \Rightarrow x_3 \leq 600$ El límite más restrictivo es $x_3 = 250$. Utilidad: $75 \times 250 = 18750$ 9. **Intentamos combinar Producto 3 y Producto 1 (utilidad 50):** Sea $x_3 = 250$ (máximo), revisamos si podemos producir $x_1$ adicional: Material A: $1x_1 + 3(250) \leq 750 \Rightarrow 1x_1 + 750 \leq 750 \Rightarrow x_1 \leq 0$ No queda material A para $x_1$. 10. **Intentamos combinar Producto 3 y Producto 2 (utilidad 35):** Material A: $1x_2 + 3(250) \leq 750 \Rightarrow x_2 + 750 \leq 750 \Rightarrow x_2 \leq 0$ No queda material A para $x_2$. 11. **Intentamos combinar Producto 3 y Producto 4 (utilidad 20):** Material A: $2x_4 + 3(250) \leq 750 \Rightarrow 2x_4 + 750 \leq 750 \Rightarrow x_4 \leq 0$ No queda material A para $x_4$. 12. **Intentamos producir solo Producto 1:** Material A: $1x_1 \leq 750 \Rightarrow x_1 \leq 750$ Material B: $2x_1 \leq 900 \Rightarrow x_1 \leq 450$ Material C: $4x_1 \leq 1200 \Rightarrow x_1 \leq 300$ Límite más restrictivo: $x_1 = 300$ Utilidad: $50 \times 300 = 15000$ 13. **Intentamos producir solo Producto 2:** Material A: $1x_2 \leq 750 \Rightarrow x_2 \leq 750$ Material B: $2x_2 \leq 900 \Rightarrow x_2 \leq 450$ Material C: $1x_2 \leq 1200 \Rightarrow x_2 \leq 1200$ Límite más restrictivo: $x_2 = 450$ Utilidad: $35 \times 450 = 15750$ 14. **Intentamos producir solo Producto 4:** Material A: $2x_4 \leq 750 \Rightarrow x_4 \leq 375$ Material B: $3x_4 \leq 900 \Rightarrow x_4 \leq 300$ Material C: $5x_4 \leq 1200 \Rightarrow x_4 \leq 240$ Límite más restrictivo: $x_4 = 240$ Utilidad: $20 \times 240 = 4800$ 15. **Conclusión:** La mayor utilidad se obtiene produciendo solo Producto 3 con $x_3 = 250$ unidades. **Respuesta final:** $$x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 250, \quad x_4 = 0$$ Utilidad máxima: $$Z = 75 \times 250 = 18750$$