1. Planteamos el problema: Una fábrica tiene 500 kg de chocolate, 100 kg de almendra y 85 kg de fruta. Se producen dos tipos de cajas: - Tipo A: 3 kg chocolate, 1 kg almendra, 1 kg fruta, precio 13 - Tipo B: 2 kg chocolate, 1.5 kg almendra, 1 kg fruta, precio 13.5 Queremos maximizar la venta total, es decir, maximizar $Z = 13x + 13.5y$ donde $x$ y $y$ son las cantidades de cajas A y B. 2. Definimos las restricciones según los recursos: - Chocolate: $3x + 2y \leq 500$ - Almendra: $1x + 1.5y \leq 100$ - Fruta: $1x + 1y \leq 85$ - Además, $x \geq 0$, $y \geq 0$ 3. Planteamos el problema de programación lineal: $$\max Z = 13x + 13.5y$$ $$\text{sujeto a:}$$ $$3x + 2y \leq 500$$ $$x + 1.5y \leq 100$$ $$x + y \leq 85$$ $$x,y \geq 0$$ 4. Encontramos los puntos de intersección de las restricciones para evaluar $Z$: - Intersección de $3x + 2y = 500$ y $x + 1.5y = 100$: Multiplicamos la segunda por 3: $$3x + 4.5y = 300$$ Restamos la primera: $$3x + 4.5y - (3x + 2y) = 300 - 500$$ $$2.5y = -200 \Rightarrow y = -80$$ (no válido, $y$ debe ser positivo) - Intersección de $3x + 2y = 500$ y $x + y = 85$: De la segunda, $x = 85 - y$ Sustituimos en la primera: $$3(85 - y) + 2y = 500$$ $$255 - 3y + 2y = 500$$ $$255 - y = 500$$ $$y = 255 - 500 = -245$$ (no válido) - Intersección de $x + 1.5y = 100$ y $x + y = 85$: Restamos la segunda de la primera: $$(x + 1.5y) - (x + y) = 100 - 85$$ $$0 + 0.5y = 15 \Rightarrow y = 30$$ Sustituimos en $x + y = 85$: $$x + 30 = 85 \Rightarrow x = 55$$ 5. Evaluamos $Z$ en los vértices factibles: - En $(0,0)$: $Z=0$ - En $(0, 66.66)$ de $3x + 2y = 500$ con $x=0$: $$Z = 13(0) + 13.5(66.66) = 899.91$$ - En $(100,0)$ de $x + 1.5y = 100$ con $y=0$: $$Z = 13(100) + 13.5(0) = 1300$$ - En $(85,0)$ de $x + y = 85$ con $y=0$: $$Z = 13(85) + 13.5(0) = 1105$$ - En $(55,30)$: $$Z = 13(55) + 13.5(30) = 715 + 405 = 1120$$ 6. Verificamos que $(100,0)$ cumple todas las restricciones: - Chocolate: $3(100) + 2(0) = 300 \leq 500$ ✓ - Almendra: $1(100) + 1.5(0) = 100 \leq 100$ ✓ - Fruta: $1(100) + 0 = 100 \leq 85$ ✗ No cumple 7. Verificamos $(0,66.66)$: - Chocolate: $3(0) + 2(66.66) = 133.32 \leq 500$ ✓ - Almendra: $0 + 1.5(66.66) = 99.99 \leq 100$ ✓ - Fruta: $0 + 66.66 = 66.66 \leq 85$ ✓ 8. Verificamos $(55,30)$: - Chocolate: $3(55) + 2(30) = 165 + 60 = 225 \leq 500$ ✓ - Almendra: $55 + 1.5(30) = 55 + 45 = 100 \leq 100$ ✓ - Fruta: $55 + 30 = 85 \leq 85$ ✓ 9. El punto $(55,30)$ cumple todas las restricciones y da $Z=1120$, que es mayor que en $(0,66.66)$ con $Z=899.91$. 10. Por lo tanto, la fábrica debe producir 55 cajas tipo A y 30 cajas tipo B para maximizar la venta. **Respuesta final:** $$\boxed{x=55, \quad y=30}$$