1. **Planteamiento del problema:** La compañía minera tiene dos minas, A y B, que producen diferentes cantidades diarias de tres tipos de carbón: alta calidad, calidad media y baja calidad. 2. **Datos del problema:** - Mina A produce diariamente: 1 tonelada alta calidad, 2 toneladas calidad media, 4 toneladas baja calidad. - Mina B produce diariamente: 2 toneladas de cada tipo. - Requerimientos totales: 70 toneladas alta calidad, 130 toneladas calidad media, 150 toneladas baja calidad. - Costos diarios: Mina A cuesta 500, Mina B cuesta 750. 3. **Variables de decisión:** Sea $x$ el número de días que trabaja la mina A. Sea $y$ el número de días que trabaja la mina B. 4. **Función objetivo:** Minimizar el costo total: $$\text{Min } Z = 500x + 750y$$ 5. **Restricciones de producción:** Para satisfacer la demanda de cada tipo de carbón: - Alta calidad: $$1x + 2y \geq 70$$ - Calidad media: $$2x + 2y \geq 130$$ - Baja calidad: $$4x + 2y \geq 150$$ 6. **Restricciones de no negatividad:** $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$ 7. **Resolución:** Resolvemos el sistema de desigualdades para encontrar $x$ y $y$ que minimicen $Z$. 8. **Encontrar puntos de intersección de las restricciones:** - De la primera y segunda restricción: $$\begin{cases} x + 2y = 70 \\ 2x + 2y = 130 \end{cases}$$ Restando la primera de la segunda: $$2x + 2y - (x + 2y) = 130 - 70 \Rightarrow x = 60$$ Sustituyendo en la primera: $$60 + 2y = 70 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5$$ - De la primera y tercera restricción: $$\begin{cases} x + 2y = 70 \\ 4x + 2y = 150 \end{cases}$$ Restando la primera de la segunda: $$4x + 2y - (x + 2y) = 150 - 70 \Rightarrow 3x = 80 \Rightarrow x = \frac{80}{3} \approx 26.67$$ Sustituyendo en la primera: $$26.67 + 2y = 70 \Rightarrow 2y = 43.33 \Rightarrow y = 21.67$$ - De la segunda y tercera restricción: $$\begin{cases} 2x + 2y = 130 \\ 4x + 2y = 150 \end{cases}$$ Restando la primera de la segunda: $$4x + 2y - (2x + 2y) = 150 - 130 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10$$ Sustituyendo en la segunda: $$2(10) + 2y = 130 \Rightarrow 20 + 2y = 130 \Rightarrow 2y = 110 \Rightarrow y = 55$$ 9. **Evaluar la función objetivo en los puntos factibles:** - En $(60,5)$: $$Z = 500(60) + 750(5) = 30000 + 3750 = 33750$$ - En $(26.67,21.67)$: $$Z = 500(26.67) + 750(21.67) = 13333.5 + 16252.5 = 29586$$ - En $(10,55)$: $$Z = 500(10) + 750(55) = 5000 + 41250 = 46250$$ 10. **Conclusión:** El costo mínimo es aproximadamente 29586 unidades monetarias, trabajando aproximadamente 27 días en la mina A y 22 días en la mina B. **Respuesta final:** $$x \approx 27, \quad y \approx 22$$