1. **Planteamiento del problema:** El distribuidor debe comprar aceite de oliva a dos almazaras, A y B. Se deben cumplir las siguientes restricciones: - Cada almazara vende entre 2 y 14 toneladas: $$2 \leq x \leq 14$$ y $$2 \leq y \leq 14$$ donde $x$ es la cantidad comprada a A y $y$ a B. - La demanda mínima total es 9 toneladas: $$x + y \geq 9$$ - No se puede comprar a B más del triple que a A: $$y \leq 3x$$ 2. **Función objetivo:** Minimizar el coste total: $$C = 3000x + 5000y$$ 3. **Región factible:** Está definida por las desigualdades: $$2 \leq x \leq 14$$ $$2 \leq y \leq 14$$ $$x + y \geq 9$$ $$y \leq 3x$$ 4. **Encontrar los vértices de la región factible:** Los vértices son puntos donde se intersectan las restricciones: - Punto A: $(2,7)$ de la intersección $x=2$ y $x+y=9$ (porque $7=9-2$) - Punto B: $(2,14)$ de $x=2$ y $y=14$ - Punto C: $(14,14)$ de $x=14$ y $y=14$ - Punto D: $(14,5)$ de $x=14$ y $y=3x=42$ pero $y$ máximo es 14, así que $y=14$ no es válido, pero $y=5$ viene de $y=3x$ y $x+y=9$ no se cumple, revisar intersección de $y=3x$ y $y=14$ da $x=14/3=4.67$ que no es 14, entonces el punto D es $(14,5)$ dado por $y=3x$ y $y=14$ no es válido, pero $y=3x$ y $y=14$ no se intersectan en $x=14$, entonces el punto D es $(14,5)$ dado por $y=3x$ y $y=14$ no es correcto, mejor revisar intersección de $y=3x$ y $x+y=9$: $$y=3x$$ $$x+3x=9 \Rightarrow 4x=9 \Rightarrow x=2.25, y=6.75$$ Este punto está dentro de los límites, pero no es $(14,5)$. - Punto E: $(7,2)$ de $y=2$ y $x+y=9$ (porque $7=9-2$) Los vértices correctos son: - $(2,7)$ - $(2,14)$ - $(14,14)$ - $(14,5)$ no es correcto, corregimos con intersección de $y=3x$ y $y=14$: $$3x=14 \Rightarrow x=\frac{14}{3} \approx 4.67$$ Entonces punto es $(4.67,14)$ - Intersección de $y=3x$ y $x+y=9$: $$x+3x=9 \Rightarrow 4x=9 \Rightarrow x=2.25, y=6.75$$ - Intersección de $y=2$ y $x+y=9$: $$x+2=9 \Rightarrow x=7$$ 5. **Evaluar la función objetivo en los vértices:** - En $(2,7)$: $$C=3000(2)+5000(7)=6000+35000=41000$$ - En $(2,14)$: $$C=3000(2)+5000(14)=6000+70000=76000$$ - En $(14,14)$: $$C=3000(14)+5000(14)=42000+70000=112000$$ - En $(4.67,14)$: $$C=3000(4.67)+5000(14)=14010+70000=84010$$ - En $(2.25,6.75)$: $$C=3000(2.25)+5000(6.75)=6750+33750=40500$$ - En $(7,2)$: $$C=3000(7)+5000(2)=21000+10000=31000$$ 6. **Conclusión:** El mínimo coste es en el punto $(7,2)$ con un coste total de 31000. **Respuesta final:** - Cantidad a comprar a la almazara A: $7.00$ toneladas - Cantidad a comprar a la almazara B: $2.00$ toneladas - Coste total mínimo: 31000 euros