1. **Planteamiento del problema:** Queremos determinar la cantidad diaria de cristales C1 y C2 que se deben fabricar para minimizar el tiempo total de fabricación. Sea $x$ la cantidad en m² de cristal C1 y $y$ la cantidad en m² de cristal C2. 2. **Restricciones:** - Materia prima M1: $3x + 6y \leq 135$ - Materia prima M2: $2x + y \leq 60$ - Cantidad mínima total: $x + y \geq 20$ - No negatividad: $x \geq 0$, $y \geq 0$ 3. **Función objetivo:** Minimizar el tiempo total de fabricación: $$Z = 22x + 14y$$ 4. **Interpretación:** Queremos encontrar valores de $x$ y $y$ que satisfagan las restricciones y minimicen $Z$. 5. **Resolución gráfica:** - Graficamos las rectas de las restricciones: - $3x + 6y = 135 \Rightarrow y = \frac{135 - 3x}{6} = 22.5 - 0.5x$ - $2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x$ - $x + y = 20 \Rightarrow y = 20 - x$ - Identificamos la región factible que cumple todas las restricciones. 6. **Puntos extremos de la región factible:** - Intersección de $3x + 6y = 135$ y $2x + y = 60$: $$\begin{cases} 3x + 6y = 135 \\ 2x + y = 60 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por 6: $$12x + 6y = 360$$ Restamos la primera: $$12x + 6y - (3x + 6y) = 360 - 135 \Rightarrow 9x = 225 \Rightarrow x = 25$$ Sustituimos en $2x + y = 60$: $$2(25) + y = 60 \Rightarrow 50 + y = 60 \Rightarrow y = 10$$ - Intersección de $3x + 6y = 135$ y $x + y = 20$: $$\begin{cases} 3x + 6y = 135 \\ x + y = 20 \end{cases}$$ De la segunda: $y = 20 - x$ Sustituimos en la primera: $$3x + 6(20 - x) = 135 \Rightarrow 3x + 120 - 6x = 135 \Rightarrow -3x = 15 \Rightarrow x = -5$$ No es válido porque $x \geq 0$. - Intersección de $2x + y = 60$ y $x + y = 20$: $$\begin{cases} 2x + y = 60 \\ x + y = 20 \end{cases}$$ Restamos la segunda de la primera: $$(2x + y) - (x + y) = 60 - 20 \Rightarrow x = 40$$ Sustituimos en $x + y = 20$: $$40 + y = 20 \Rightarrow y = -20$$ No válido porque $y \geq 0$. - Intersección con ejes: - $x=0$ en $3x + 6y \leq 135$ da $6y \leq 135 \Rightarrow y \leq 22.5$ - $y=0$ en $3x + 6y \leq 135$ da $3x \leq 135 \Rightarrow x \leq 45$ - $x=0$ en $2x + y \leq 60$ da $y \leq 60$ - $y=0$ en $2x + y \leq 60$ da $2x \leq 60 \Rightarrow x \leq 30$ 7. **Evaluación de la función objetivo en puntos factibles:** - En $(0,20)$: $Z = 22(0) + 14(20) = 280$ - En $(15,5)$ (punto donde $3x + 6y = 135$ y $x + y = 20$ aproximado): Comprobamos $3(15) + 6(5) = 45 + 30 = 75 \leq 135$ (sí), $2(15) + 5 = 30 + 5 = 35 \leq 60$ (sí), $15 + 5 = 20$ (sí) $Z = 22(15) + 14(5) = 330 + 70 = 400$ - En $(25,10)$ (intersección válida): $Z = 22(25) + 14(10) = 550 + 140 = 690$ 8. **Conclusión:** El punto que minimiza el tiempo de fabricación dentro de la región factible y cumple las restricciones es $(0,20)$, es decir, fabricar 0 m² de C1 y 20 m² de C2. **Respuesta final:** La empresa debe fabricar diariamente 0 m² de C1 y 20 m² de C2 para minimizar el tiempo de fabricación.