1. Planteamos el problema: Una empresa fabrica televisores LED y QLED con restricciones de horas de trabajo y demanda mínima. 2. Definimos variables: - $x$: número de televisores LED - $y$: número de televisores QLED 3. Restricciones del problema: - Horas de electrónica: $4x + 3y \leq 2400$ - Horas de montaje: $2x + y \leq 1000$ - Demanda mínima QLED: $y \geq 200$ - No negatividad: $x \geq 0$, $y \geq 0$ 4. Función objetivo (beneficio a maximizar): $$F(x,y) = 70x + 50y$$ 5. Encontramos los vértices del polígono factible: - Intersección de $4x + 3y = 2400$ y $2x + y = 1000$: Multiplicamos la segunda por 3: $6x + 3y = 3000$ Restamos la primera: $(6x + 3y) - (4x + 3y) = 3000 - 2400 \Rightarrow 2x = 600 \Rightarrow x = 300$ Sustituimos en $2x + y = 1000$: $2(300) + y = 1000 \Rightarrow y = 400$ - Punto con $y=200$ en $4x + 3y \leq 2400$: $4x + 3(200) \leq 2400 \Rightarrow 4x + 600 \leq 2400 \Rightarrow 4x \leq 1800 \Rightarrow x \leq 450$ En $2x + y \leq 1000$ con $y=200$: $2x + 200 \leq 1000 \Rightarrow 2x \leq 800 \Rightarrow x \leq 400$ Por lo tanto, el punto es $(400, 200)$ - Punto con $y=200$ y $x=0$: $(0, 200)$ - Punto con $x=0$ y $2x + y \leq 1000$: $y \leq 1000$, pero $y \geq 200$, así que $(0, 200)$ es el límite inferior 6. Evaluamos la función objetivo en los vértices: - En $(300, 400)$: $$F = 70 \times 300 + 50 \times 400 = 21000 + 20000 = 41000$$ - En $(400, 200)$: $$F = 70 \times 400 + 50 \times 200 = 28000 + 10000 = 38000$$ - En $(0, 200)$: $$F = 70 \times 0 + 50 \times 200 = 0 + 10000 = 10000$$ 7. Conclusión: La empresa debe fabricar 300 televisores LED y 400 televisores QLED para maximizar el beneficio, que será de 41000.