1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una empresa con dos factorías A y B que producen 500 y 400 unidades respectivamente. Estas unidades deben ser transportadas a tres centros I, II y III con demandas de 200, 300 y 400 unidades respectivamente. El objetivo es minimizar el costo total de transporte, dado el costo por unidad desde cada factoría a cada centro. 2. **Datos del problema:** - Producción: $500$ unidades en A, $400$ unidades en B. - Demanda: $200$ en I, $300$ en II, $400$ en III. - Costos por unidad: \begin{align*} &\text{De A a I}: 50, \quad \text{A a II}: 60, \quad \text{A a III}: 10 \\ &\text{De B a I}: 25, \quad \text{B a II}: 40, \quad \text{B a III}: 20 \end{align*} 3. **Variables de decisión:** Sea $x_{AI}$, $x_{AII}$, $x_{AIII}$ las unidades transportadas desde A a I, II y III respectivamente. Sea $x_{BI}$, $x_{BII}$, $x_{BIII}$ las unidades transportadas desde B a I, II y III respectivamente. 4. **Restricciones:** - Producción en A: $$x_{AI} + x_{AII} + x_{AIII} = 500$$ - Producción en B: $$x_{BI} + x_{BII} + x_{BIII} = 400$$ - Demanda en I: $$x_{AI} + x_{BI} = 200$$ - Demanda en II: $$x_{AII} + x_{BII} = 300$$ - Demanda en III: $$x_{AIII} + x_{BIII} = 400$$ - No negatividad: $$x_{ij} \geq 0$$ para todo $i \in \{A,B\}$ y $j \in \{I,II,III\}$. 5. **Función objetivo:** Minimizar el costo total: $$ Z = 50x_{AI} + 60x_{AII} + 10x_{AIII} + 25x_{BI} + 40x_{BII} + 20x_{BIII} $$ 6. **Resolución:** Para minimizar $Z$ bajo las restricciones, se puede usar el método de transporte o programación lineal. 7. **Solución óptima (por método de transporte):** - Asignar primero a las rutas con menor costo para cubrir demanda y producción. - Desde A a III (costo 10): asignar máximo posible, hasta 400 unidades (demanda de III). $$x_{AIII} = 400$$ - Quedan en A: $500 - 400 = 100$ unidades. - Demanda restante en I: 200 unidades. - Demanda en II: 300 unidades. - Desde B a I (costo 25): asignar 200 unidades para cubrir demanda de I. $$x_{BI} = 200$$ - Quedan en B: $400 - 200 = 200$ unidades. - Desde B a II (costo 40): asignar 200 unidades (restantes en B). $$x_{BII} = 200$$ - Demanda restante en II: $300 - 200 = 100$ unidades. - Desde A a II (costo 60): asignar 100 unidades restantes en A. $$x_{AII} = 100$$ - Verificación: \begin{align*} &x_{AI} = 0, \quad x_{AII} = 100, \quad x_{AIII} = 400 \\ &x_{BI} = 200, \quad x_{BII} = 200, \quad x_{BIII} = 0 \end{align*} - Todas las demandas y producciones se cumplen. 8. **Costo total mínimo:** $$ Z = 50\times 0 + 60\times 100 + 10\times 400 + 25\times 200 + 40\times 200 + 20\times 0 = 0 + 6000 + 4000 + 5000 + 8000 + 0 = 23000 $$ **Respuesta final:** Transportar 0 unidades de A a I, 100 de A a II, 400 de A a III, 200 de B a I, 200 de B a II y 0 de B a III para un costo mínimo total de 23000.