1. **Planteamiento del problema:** Resolver el problema de programación lineal (PPL) por el método gráfico para maximizar la función objetivo $$z(x) = 8x_1 + 5x_2$$ sujeta a las restricciones: $$\begin{cases} 2x_1 + x_2 \leq 10 \\ x_1 + x_2 \leq 12 \\ 4x_1 + x_2 \leq 18 \\ x_1 + 4x_2 \leq 10 \\ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \end{cases}$$ 2. **Fórmula y reglas importantes:** - El método gráfico consiste en graficar las restricciones para encontrar la región factible. - Los vértices de la región factible son candidatos a ser la solución óptima. - Evaluamos la función objetivo en cada vértice para encontrar el máximo. 3. **Graficar las restricciones:** - Para cada desigualdad, despejamos $x_2$: - $2x_1 + x_2 \leq 10 \Rightarrow x_2 \leq 10 - 2x_1$ - $x_1 + x_2 \leq 12 \Rightarrow x_2 \leq 12 - x_1$ - $4x_1 + x_2 \leq 18 \Rightarrow x_2 \leq 18 - 4x_1$ - $x_1 + 4x_2 \leq 10 \Rightarrow 4x_2 \leq 10 - x_1 \Rightarrow x_2 \leq \frac{10 - x_1}{4}$ 4. **Encontrar vértices de la región factible:** - Intersección de las líneas: - Entre $2x_1 + x_2 = 10$ y $x_1 + x_2 = 12$: $$\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 + x_2 = 12 \end{cases}$$ Restando: $$\cancel{2x_1} + x_2 - (\cancel{x_1} + x_2) = 10 - 12 \Rightarrow x_1 = -2$$ Pero $x_1 \geq 0$, descartamos. - Entre $2x_1 + x_2 = 10$ y $4x_1 + x_2 = 18$: $$\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 10 \\ 4x_1 + x_2 = 18 \end{cases}$$ Restando: $$\cancel{2x_1} + x_2 - (\cancel{4x_1} + x_2) = 10 - 18 \Rightarrow -2x_1 = -8 \Rightarrow x_1 = 4$$ Sustituyendo en $2x_1 + x_2 = 10$: $$2(4) + x_2 = 10 \Rightarrow 8 + x_2 = 10 \Rightarrow x_2 = 2$$ - Entre $x_1 + x_2 = 12$ y $x_1 + 4x_2 = 10$: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 12 \\ x_1 + 4x_2 = 10 \end{cases}$$ Restando: $$\cancel{x_1} + x_2 - (\cancel{x_1} + 4x_2) = 12 - 10 \Rightarrow -3x_2 = 2 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}$$ No cumple $x_2 \geq 0$, descartamos. - Entre $4x_1 + x_2 = 18$ y $x_1 + 4x_2 = 10$: $$\begin{cases} 4x_1 + x_2 = 18 \\ x_1 + 4x_2 = 10 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por 4: $$4x_1 + 16x_2 = 40$$ Restando la primera: $$4x_1 + 16x_2 - (4x_1 + x_2) = 40 - 18 \Rightarrow 15x_2 = 22 \Rightarrow x_2 = \frac{22}{15} \approx 1.47$$ Sustituyendo en $4x_1 + x_2 = 18$: $$4x_1 + \frac{22}{15} = 18 \Rightarrow 4x_1 = 18 - \frac{22}{15} = \frac{270 - 22}{15} = \frac{248}{15}$$ $$x_1 = \frac{248}{60} = \frac{62}{15} \approx 4.13$$ 5. **Evaluar la función objetivo en los vértices factibles:** - En $(0,0)$: $z = 8(0) + 5(0) = 0$ - En $(4,2)$: $z = 8(4) + 5(2) = 32 + 10 = 42$ - En $(\frac{62}{15}, \frac{22}{15}) \approx (4.13, 1.47)$: $$z = 8 \times \frac{62}{15} + 5 \times \frac{22}{15} = \frac{496}{15} + \frac{110}{15} = \frac{606}{15} = 40.4$$ 6. **Conclusión:** El máximo valor de $z$ es 42 en el punto $(4,2)$. --- Este procedimiento se repite para cada problema, graficando las restricciones, encontrando la región factible, calculando los vértices y evaluando la función objetivo para hallar el máximo. "slug": "ppl metodo simplex", "subject": "programacion lineal", "desmos": {"latex": "", "features": {"intercepts": false, "extrema": false}}, "q_count": 18