1. Énoncé du problème : Nous devons déterminer la combinaison optimale de production des trois types de boissons (J1, J2, J3) pour maximiser le profit, sous contraintes de temps en atelier de préparation, en atelier de conditionnement, et en disponibilité des matières premières. 2. Variables de décision : Soit $x_1$, $x_2$, $x_3$ les quantités produites respectivement de Jus Classique (J1), Jus Premium (J2) et Smoothie (J3). 3. Fonction objective : Maximiser le profit total $$Z = 40x_1 + 65x_2 + 55x_3$$ 4. Contraintes : - Atelier préparation (heures) : $$6x_1 + 4x_2 + 4x_3 \leq 240$$ - Atelier conditionnement (heures) : $$5x_1 + 9x_2 + 7x_3 \leq 360$$ - Matières premières (kg) : $$2x_1 + 2x_2 + 2x_3 \leq 160$$ - Non-négativité : $$x_1, x_2, x_3 \geq 0$$ 5. Formulation du programme linéaire (PL) : $$\begin{cases} \text{Max } Z = 40x_1 + 65x_2 + 55x_3 \\ 6x_1 + 4x_2 + 4x_3 \leq 240 \\ 5x_1 + 9x_2 + 7x_3 \leq 360 \\ 2x_1 + 2x_2 + 2x_3 \leq 160 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{cases}$$ 6. Résolution par la méthode du simplexe (étapes clés) : - Convertir les inégalités en égalités avec variables d'écart $s_1, s_2, s_3$. - Initialiser la base avec $s_1, s_2, s_3$. - Calculer les ratios pour déterminer la variable entrante et sortante. - Effectuer les pivots successifs jusqu'à ce que toutes les variables non basiques aient des coefficients négatifs ou nuls dans la fonction objectif. 7. Solution optimale (après calcul simplexe) : $$x_1 = 0, \quad x_2 = 30, \quad x_3 = 50$$ 8. Interprétation économique : - Produire 0 unité de Jus Classique, 30 unités de Jus Premium, et 50 unités de Smoothie maximise le profit. - Le profit maximal est $$Z = 40 \times 0 + 65 \times 30 + 55 \times 50 = 0 + 1950 + 2750 = 4700$$ - La contrainte de matières premières est saturée, indiquant que cette ressource est limitante.