1. **Énoncé du problème :** Nous devons maximiser la fonction objectif $$z = 600x + 700y$$ sous les contraintes : $$6x + 4y + e_1 = 200$$ $$30x + 15y + e_2 = 1200$$ avec $$x, y, e_1, e_2 \geq 0$$. 2. **Formule et méthode :** La méthode du simplexe est utilisée pour résoudre les problèmes de programmation linéaire en maximisant ou minimisant une fonction objectif sous contraintes linéaires. 3. **Initialisation :** Variables de base initiales sont les variables d'écart $$e_1$$ et $$e_2$$. La solution initiale est $$x=0, y=0, e_1=200, e_2=1200$$. 4. **Tableau initial du simplexe :** Variables de base | $$x$$ | $$y$$ | $$e_1$$ | $$e_2$$ | RHS ---|---|---|---|---|--- $$e_1$$ | 6 | 4 | 1 | 0 | 200 $$e_2$$ | 30 | 15 | 0 | 1 | 1200 $$z$$ | -600 | -700 | 0 | 0 | 0 5. **Choix de la variable entrante :** On choisit la variable avec le coefficient le plus négatif dans la ligne $$z$$, ici $$y$$ avec $$-700$$. 6. **Calcul des rapports pour la variable sortante :** $$\frac{200}{4} = 50$$ $$\frac{1200}{15} = 80$$ Le plus petit ratio est 50, donc $$e_1$$ sort. 7. **Pivot sur la case (e1, y) = 4 :** Divisons la ligne $$e_1$$ par 4 : $$e_1 : \frac{6}{4}x + y + \frac{1}{4}e_1 = 50$$ 8. **Mise à jour de la ligne $$e_2$$ :** $$e_2 := e_2 - 15 \times (nouvelle\ ligne\ e_1)$$ $$30x + 15y + e_2 = 1200$$ $$- 15 \times \left(\frac{6}{4}x + y + \frac{1}{4}e_1 = 50\right)$$ $$= 30x + 15y + e_2 - 22.5x - 15y - 3.75 e_1 = 1200 - 750$$ $$= (30 - 22.5)x + (15 - 15)y + e_2 - 3.75 e_1 = 450$$ $$= 7.5x + e_2 - 3.75 e_1 = 450$$ 9. **Mise à jour de la ligne $$z$$ :** $$z := z + 700 \times (nouvelle\ ligne\ e_1)$$ $$-600x - 700y + 700 \times \left(\frac{6}{4}x + y + \frac{1}{4}e_1 = 50\right)$$ $$= -600x - 700y + 1050x + 700y + 175 e_1 = 35000$$ $$= 450x + 175 e_1 = 35000$$ 10. **Nouveau tableau :** Variables de base | $$x$$ | $$y$$ | $$e_1$$ | $$e_2$$ | RHS ---|---|---|---|---|--- $$y$$ | \frac{6}{4} | 1 | \frac{1}{4} | 0 | 50 $$e_2$$ | 7.5 | 0 | -3.75 | 1 | 450 $$z$$ | 450 | 0 | 175 | 0 | 35000 11. **Choix de la variable entrante :** Le coefficient positif dans $$z$$ est $$450$$ pour $$x$$, donc $$x$$ entre. 12. **Calcul des rapports pour la variable sortante :** $$\frac{50}{\frac{6}{4}} = \frac{50}{1.5} = 33.33$$ $$\frac{450}{7.5} = 60$$ Le plus petit ratio est 33.33, donc $$y$$ sort. 13. **Pivot sur la case (y, x) = 1.5 :** Divisons la ligne $$y$$ par 1.5 : $$x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{6} e_1 = 33.33$$ 14. **Mise à jour de la ligne $$e_2$$ :** $$e_2 := e_2 - 7.5 \times (nouvelle\ ligne\ y)$$ $$7.5x + e_2 - 3.75 e_1 = 450$$ $$- 7.5 \times (x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{6} e_1 = 33.33)$$ $$= 7.5x + e_2 - 3.75 e_1 - 7.5x - 5 y - 1.25 e_1 = 450 - 250$$ $$= e_2 - 5 y - 5 e_1 = 200$$ 15. **Mise à jour de la ligne $$z$$ :** $$z := z - 450 \times (nouvelle\ ligne\ y)$$ $$450x + 175 e_1 = 35000$$ $$- 450 \times (x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{6} e_1 = 33.33)$$ $$= 450x + 175 e_1 - 450x - 300 y - 75 e_1 = 35000 - 15000$$ $$= -300 y + 100 e_1 = 20000$$ 16. **Nouveau tableau :** Variables de base | $$x$$ | $$y$$ | $$e_1$$ | $$e_2$$ | RHS ---|---|---|---|---|--- $$x$$ | 1 | \frac{2}{3} | \frac{1}{6} | 0 | 33.33 $$e_2$$ | 0 | -5 | -5 | 1 | 200 $$z$$ | 0 | -300 | 100 | 0 | 20000 17. **Choix de la variable entrante :** Le coefficient négatif dans $$z$$ est $$-300$$ pour $$y$$, donc $$y$$ entre. 18. **Calcul des rapports pour la variable sortante :** $$\frac{33.33}{\frac{2}{3}} = 50$$ $$\frac{200}{-5}$$ est négatif, donc non valide. Le seul ratio positif est 50, donc $$x$$ sort. 19. **Pivot sur la case (x, y) = \frac{2}{3} :** Divisons la ligne $$x$$ par $$\frac{2}{3}$$ : $$\frac{3}{2} x + y + \frac{1}{4} e_1 = 50$$ 20. **Mise à jour de la ligne $$e_2$$ :** $$e_2 := e_2 + 5 \times (nouvelle\ ligne\ x)$$ $$0 x - 5 y - 5 e_1 + e_2 = 200$$ $$+ 5 \times (\frac{3}{2} x + y + \frac{1}{4} e_1 = 50)$$ $$= 0 x - 5 y - 5 e_1 + e_2 + \frac{15}{2} x + 5 y + \frac{5}{4} e_1 = 200 + 250$$ $$= \frac{15}{2} x + e_2 - \frac{15}{4} e_1 = 450$$ 21. **Mise à jour de la ligne $$z$$ :** $$z := z + 300 \times (nouvelle\ ligne\ x)$$ $$0 x - 300 y + 100 e_1 = 20000$$ $$+ 300 \times (\frac{3}{2} x + y + \frac{1}{4} e_1 = 50)$$ $$= 0 x - 300 y + 100 e_1 + 450 x + 300 y + 75 e_1 = 20000 + 15000$$ $$= 450 x + 175 e_1 = 35000$$ 22. **Nouveau tableau :** Variables de base | $$x$$ | $$y$$ | $$e_1$$ | $$e_2$$ | RHS ---|---|---|---|---|--- $$y$$ | \frac{3}{2} | 1 | \frac{1}{4} | 0 | 50 $$e_2$$ | \frac{15}{2} | 0 | -\frac{15}{4} | 1 | 450 $$z$$ | 450 | 0 | 175 | 0 | 35000 23. **Conclusion :** Tous les coefficients dans la ligne $$z$$ pour les variables non basiques sont positifs ou nuls, donc la solution optimale est atteinte. 24. **Solution optimale :** $$x = 0$$ (car $$y$$ est dans la base), $$y = 50$$, $$z_{max} = 600 \times 0 + 700 \times 50 = 35000$$. **Réponse finale :** $$x = 0, y = 50, z_{max} = 35000$$