1. **Enunciado do problema:** Dada uma progressão geométrica (PG) de termos positivos $(u_n)$ tal que $u_{n+2} - u_n = 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, determine a soma dos primeiros 1012 termos. 2. **Fórmula e regras importantes:** Para uma PG, temos $u_{n} = u_1 r^{n-1}$, onde $r$ é a razão da PG. A soma dos primeiros $N$ termos é dada por: $$S_N = u_1 \frac{1-r^N}{1-r}, \quad r \neq 1$$ Se $r=1$, então $S_N = N u_1$. 3. **Análise da condição dada:** $$u_{n+2} - u_n = 0 \implies u_{n+2} = u_n$$ Substituindo $u_n = u_1 r^{n-1}$: $$u_1 r^{n+1} = u_1 r^{n-1} \implies r^{n+1} = r^{n-1}$$ Dividindo ambos os lados por $r^{n-1}$ (como $u_n$ são positivos, $r \neq 0$): $$\cancel{r^{n-1}} r^{2} = \cancel{r^{n-1}} \implies r^2 = 1$$ 4. **Determinação da razão $r$:** Como os termos são positivos, $r > 0$, então: $$r = 1$$ 5. **Cálculo da soma dos primeiros 1012 termos:** Como $r=1$, a soma é: $$S_{1012} = 1012 \times u_1$$ **Resposta:** A soma dos primeiros 1012 termos é $1012 u_1$, que corresponde à alternativa (D).