1. Vamos determinar a razão da progressão aritmética (P.A.) que se obtém inserindo seis meios aritméticos entre $3 \frac{1}{2}$ e $8 \frac{1}{2}$. 2. Primeiro, convertemos os números mistos para frações impróprias ou decimais para facilitar os cálculos: $3 \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$ $8 \frac{1}{2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$ 3. Sabemos que ao inserir seis meios aritméticos entre dois termos, teremos uma P.A. com $n = 6 + 2 = 8$ termos no total. 4. A fórmula do termo geral da P.A. é: $$a_n = a_1 + (n-1)r$$ onde $a_1$ é o primeiro termo, $a_n$ é o último termo, $r$ é a razão e $n$ é o número total de termos. 5. Substituímos os valores conhecidos: $$a_8 = 8.5, \quad a_1 = 3.5, \quad n = 8$$ 6. Aplicando a fórmula: $$8.5 = 3.5 + (8-1)r$$ $$8.5 = 3.5 + 7r$$ 7. Isolamos $r$: $$8.5 - 3.5 = 7r$$ $$5 = 7r$$ 8. Dividindo ambos os lados por 7: $$\cancel{7}r = \frac{5}{\cancel{7}}$$ $$r = \frac{5}{7}$$ 9. Portanto, a razão da P.A. é $\frac{5}{7}$ ou aproximadamente 0,714. Resposta final: A razão da P.A. é $\boxed{\frac{5}{7}}$.