1. **Problem statement:** A boat is being pulled toward a dock by a winch located 10 ft above the boat's deck. The rope is pulled in at a constant rate of 30 ft/min. We want to find the rate at which the boat approaches the dock when the boat is (a) 50 ft out, (b) 15 ft out, (c) 1 ft out, and (d) understand what happens when the rope length is less than 10 ft. 2. **Setup and formula:** Let $x$ be the horizontal distance from the boat to the dock (the quantity we want to find the rate of change for). Let $z$ be the length of the rope from the winch to the boat. The winch is 10 ft above the deck, so the vertical leg of the right triangle is constant at 10 ft. By the Pythagorean theorem: $$z^2 = x^2 + 10^2 = x^2 + 100$$ 3. **Differentiate with respect to time $t$:** $$2z \frac{dz}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$$ Simplify: $$z \frac{dz}{dt} = x \frac{dx}{dt}$$ We know: - $\frac{dz}{dt} = -30$ ft/min (negative because rope length is decreasing) - We want to find $\frac{dx}{dt}$, the rate at which the boat approaches the dock. Rearranged: $$\frac{dx}{dt} = \frac{z}{x} \frac{dz}{dt}$$ 4. **Calculate $\frac{dx}{dt}$ for each case:** (a) When $x=50$ ft: $$z = \sqrt{50^2 + 10^2} = \sqrt{2500 + 100} = \sqrt{2600} = 10\sqrt{26}$$ $$\frac{dx}{dt} = \frac{10\sqrt{26}}{50} \times (-30) = -6\sqrt{26} \approx -30.6 \text{ ft/min}$$ (b) When $x=15$ ft: $$z = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}$$ $$\frac{dx}{dt} = \frac{5\sqrt{13}}{15} \times (-30) = -10\sqrt{13} \approx -36.1 \text{ ft/min}$$ (c) When $x=1$ ft: $$z = \sqrt{1^2 + 10^2} = \sqrt{1 + 100} = \sqrt{101}$$ $$\frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{101}}{1} \times (-30) = -30\sqrt{101} \approx -301.5 \text{ ft/min}$$ 5. **Interpretation:** The negative sign means the boat is moving toward the dock. (d) When the rope length $z$ is less than 10 ft: Since the vertical leg is fixed at 10 ft, the rope length $z$ cannot be less than 10 ft (the shortest distance is the vertical height). So the rope length cannot be less than 10 ft physically; the boat would be at the dock or the rope would be slack. **Translation:** المشكلة: قارب يُسحب نحو الرصيف بواسطة حبل مربوط بونش على ارتفاع 10 أقدام فوق سطح القارب. الحبل يُسحب بسرعة ثابتة 30 قدم/دقيقة. نريد معرفة سرعة اقتراب القارب من الرصيف عندما يكون القارب على بعد 50، 15، و1 قدم من الرصيف، وماذا يحدث إذا كان طول الحبل أقل من 10 أقدام. الشرح: نستخدم نظرية فيثاغورس لحساب طول الحبل $z$ بناءً على المسافة الأفقية $x$ وارتفاع الونش 10 أقدام. نشتق المعادلة بالنسبة للزمن لنجد العلاقة بين سرعة سحب الحبل وسرعة اقتراب القارب. نحسب القيم لكل حالة ونفسر النتائج. النتيجة النهائية: - عند 50 قدم: سرعة الاقتراب حوالي 30.6 قدم/دقيقة - عند 15 قدم: حوالي 36.1 قدم/دقيقة - عند 1 قدم: حوالي 301.5 قدم/دقيقة - لا يمكن أن يكون طول الحبل أقل من 10 أقدام لأن هذا هو ارتفاع الونش، أي أن القارب وصل للرصيف أو الحبل مشدود تماماً.