1. **Stel het probleem vast:** We moeten de punten $A$ vinden op de lijn $a$ gegeven door de vergelijkingen $$x + y - 4 = 0$$ en $$z = 3$$ zodat de driehoek $ABC$ rechthoekig is in $A$, met gegeven punten $B(2,4,2)$ en $C(1,-4,0)$. 2. **Belangrijke regel:** Een driehoek is rechthoekig in punt $A$ als de vectoren $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{AC}$ loodrecht op elkaar staan. Dat betekent dat hun inwendige product (dot product) nul is: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$ 3. **Stel punt $A$ op lijn $a$ op:** De lijn $a$ wordt beschreven door: $$x + y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4 - x$$ $$z = 3$$ Dus elk punt $A$ op $a$ heeft coördinaten: $$A(x, 4 - x, 3)$$ 4. **Bereken vectoren $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{AC}$:** $$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - x, 4 - (4 - x), 2 - 3) = (2 - x, x, -1)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - x, -4 - (4 - x), 0 - 3) = (1 - x, -8 + x, -3)$$ 5. **Bereken het inwendig product:** $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2 - x)(1 - x) + x(-8 + x) + (-1)(-3)$$ 6. **Werk dit uit:** $$(2 - x)(1 - x) = 2 - 2x - x + x^2 = 2 - 3x + x^2$$ $$x(-8 + x) = -8x + x^2$$ Dus: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2 - 3x + x^2) + (-8x + x^2) + 3 = 2 - 3x + x^2 - 8x + x^2 + 3$$ $$= (x^2 + x^2) + (-3x - 8x) + (2 + 3) = 2x^2 - 11x + 5$$ 7. **Stel het inwendig product gelijk aan nul:** $$2x^2 - 11x + 5 = 0$$ 8. **Los de kwadratische vergelijking op:** Gebruik de abc-formule: $$x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 40}}{4} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{11 \pm 9}{4}$$ 9. **Bereken de oplossingen:** $$x_1 = \frac{11 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5$$ $$x_2 = \frac{11 - 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$ 10. **Vind de bijbehorende punten $A$ op lijn $a$:** Voor $x=5$: $$A = (5, 4 - 5, 3) = (5, -1, 3)$$ Voor $x=0.5$: $$A = (0.5, 4 - 0.5, 3) = (0.5, 3.5, 3)$$ **Antwoord:** De punten $A$ op lijn $a$ zodat driehoek $ABC$ rechthoekig is in $A$ zijn $$A_1 = (5, -1, 3)$$ en $$A_2 = (0.5, 3.5, 3)$$