1. সমস্যাটি হলো: A = {2, 3, 5, 7} এবং B = {0, 1, 2, 3, 5} সেট দুটি দেওয়া আছে। P(A \cap B) নির্ণয় করতে হবে। 2. সূত্র: দুটি সেটের সংযোগের ছেদ (intersection) হলো তাদের সাধারণ উপাদানগুলি। অর্থাৎ, A \cap B = {x | x \in A এবং x \in B}। 3. A এবং B এর সাধারণ উপাদানগুলি খুঁজে বের করি: A = {2, 3, 5, 7} B = {0, 1, 2, 3, 5} A \cap B = {2, 3, 5} 4. তাই, P(A \cap B) = {2, 3, 5}। 1. দ্বিতীয় প্রশ্ন: সমীকরণ y^2 - 3\sqrt{6}y + 1 = 0 দেওয়া আছে। 2. সূত্র: সমীকরণের মূলগুলো নির্ণয় করতে আমরা সাধারণত কোয়াড্রাটিক সূত্র ব্যবহার করি: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ এখানে, a=1, b=-3\sqrt{6}, c=1। 3. মূলগুলো নির্ণয় করি: $$b^2 = (-3\sqrt{6})^2 = 9 \times 6 = 54$$ $$4ac = 4 \times 1 \times 1 = 4$$ $$\sqrt{b^2 - 4ac} = \sqrt{54 - 4} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ 4. তাই, $$y = \frac{3\sqrt{6} \pm 5\sqrt{2}}{2}$$ 5. এখন, $\frac{1}{y^3}(y^3 - 1)$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। 6. প্রথমে $y^3 - 1$ কে $y^3$ দ্বারা ভাগ করি: $$\frac{1}{y^3}(y^3 - 1) = 1 - \frac{1}{y^3}$$ 7. তাই, $\frac{1}{y^3}(y^3 - 1) = 1 - \frac{1}{y^3}$। 1. তৃতীয় প্রশ্ন: প্রমাণ করতে হবে যে, $$y^2 + \frac{1}{y^2} = 92\sqrt{6}$$ 2. আমরা জানি, $y$ সমীকরণের মূল। 3. প্রথমে $y + \frac{1}{y}$ এর মান নির্ণয় করি। 4. $y$ সমীকরণ থেকে, $$y^2 - 3\sqrt{6}y + 1 = 0 \Rightarrow y^2 + 1 = 3\sqrt{6}y$$ 5. দুই পাশে $y$ দ্বারা ভাগ করলে, $$y + \frac{1}{y} = 3\sqrt{6}$$ 6. এখন, $$\left(y + \frac{1}{y}\right)^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} = (3\sqrt{6})^2 = 54$$ 7. তাই, $$y^2 + \frac{1}{y^2} = 54 - 2 = 52$$ 8. কিন্তু প্রশ্নে $92\sqrt{6}$ দেওয়া আছে, যা সম্ভবত ভুল। সঠিক মান $52$। সারাংশ: - P(A \cap B) = {2, 3, 5} - $\frac{1}{y^3}(y^3 - 1) = 1 - \frac{1}{y^3}$ - $y^2 + \frac{1}{y^2} = 52$