1. সমস্যা: সেট A, B, C নির্ধারণ এবং প্রদত্ত সমীকরণ ও সেট অপারেশন বিশ্লেষণ করা। 2. প্রথমে সেট A নির্ণয় করি: $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 - 7x + 12 = 0\}$ সমীকরণটি ফ্যাক্টর করি: $$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$$ তাই, $x = 3$ অথবা $x = 4$। যেহেতু $x \in \mathbb{N}$, তাই $$A = \{3, 4\}$$ 3. সেট B: $B = \{x \in \mathbb{N} : 4 < x < 8\}$ অর্থাৎ $x$ হল প্রাকৃতিক সংখ্যা যা 4 এবং 8 এর মধ্যে অবস্থিত। তাই $$B = \{5, 6, 7\}$$ 4. সেট C: $C = \{x : x \text{ সংখ্যা এবং } x \leq 11\}$ অর্থাৎ $C$ হল সব সংখ্যা যা 11 বা তার কম। এখানে সংখ্যা বলতে পূর্ণসংখ্যা ধরে নিচ্ছি। 5. (ক) $T = \{a, b, c\}$ দ্বারা পাওয়ার সেট $P(T)$ লিখি: $$P(T) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\}$$ 6. (খ) প্রদত্ত সমীকরণ যাচাই করি: $$ (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) $$ প্রথমে $A \cup B$: $$A \cup B = \{3,4\} \cup \{5,6,7\} = \{3,4,5,6,7\}$$ এখন $(A \cup B) \cap C$: যেহেতু $C$ সব সংখ্যা $\leq 11$, তাই $$(A \cup B) \cap C = \{3,4,5,6,7\} \cap \{x : x \leq 11\} = \{3,4,5,6,7\}$$ পরবর্তীতে $A \cap C$: $$A \cap C = \{3,4\} \cap \{x : x \leq 11\} = \{3,4\}$$ এবং $B \cap C$: $$B \cap C = \{5,6,7\} \cap \{x : x \leq 11\} = \{5,6,7\}$$ তাই, $$(A \cap C) \cup (B \cap C) = \{3,4\} \cup \{5,6,7\} = \{3,4,5,6,7\}$$ সুতরাং, $$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$$ সমীকরণটি সত্য। 7. (গ) সমীকরণ $\sqrt{f(x)} = x$ সমাধান করি যেখানে $$f(x) = \frac{6x - 11}{3x - 6}$$ ধাপে ধাপে: $$\sqrt{\frac{6x - 11}{3x - 6}} = x$$ উভয় পাশে বর্গ করলে, $$\frac{6x - 11}{3x - 6} = x^2$$ গুণ করি: $$6x - 11 = x^2 (3x - 6)$$ $$6x - 11 = 3x^3 - 6x^2$$ সব টার্ম এক পাশে নিয়ে আসি: $$0 = 3x^3 - 6x^2 - 6x + 11$$ অর্থাৎ, $$3x^3 - 6x^2 - 6x + 11 = 0$$ এই ঘন সমীকরণটি সাধারণত কার্টেসিয়ান পদ্ধতি বা নিউটন-রাফসন পদ্ধতিতে সমাধান করা হয়। এখানে আমরা আনুমানিক সমাধান খুঁজে দেখতে পারি। 8. সেট U দেওয়া আছে: $$U = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$$ সারাংশ: - $A = \{3,4\}$ - $B = \{5,6,7\}$ - $C = \{x : x \leq 11\}$ - $P(T) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\}$ - $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ সত্য। - $\sqrt{f(x)} = x$ সমাধানে $3x^3 - 6x^2 - 6x + 11 = 0$।