1. مسئله: با توجه به تعریف مجموعه‌ها \( A = \{x \mid x \in W, x - 1 < 7\} \) و \( B = \{x \mid x \in Z, x^2 - 1 = -1\} \) می‌خواهیم مجموعه‌های زیر را بیابیم: الف) \( A \cap B \) ب) \( A \cup B \) پ) \( A - B \) ت) \( B - A \) ث) \( A - (A \cap B) \) ج) \( (A \cup B) - B \) خ) \( A' \cap B' \) چ) \( A' \cup B' \) 2. ابتدا عناصر هر مجموعه را مشخص می‌کنیم: - \( W \) مجموعه اعداد طبیعی شامل صفر است (اعداد صحیح غیر منفی). شرط \( x - 1 < 7 \) یعنی \( x < 8 \) پس: \( A = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} \) - \( B = \{x \in Z \mid x^2 - 1 = -1\} \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \) پس: \( B = \{0\} \) 3. حال عملیات مجموعه‌ای را انجام می‌دهیم: الف) \( A \cap B = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} \cap \{0\} = \{0\} \) ب) \( A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} \cup \{0\} = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} \) پ) \( A - B = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} - \{0\} = \{1,2,3,4,5,6,7\} \) ت) \( B - A = \{0\} - \{0,1,2,3,4,5,6,7\} = \varnothing \) ث) \( A - (A \cap B) = A - \{0\} = \{1,2,3,4,5,6,7\} \) ج) \( (A \cup B) - B = A - B = \{1,2,3,4,5,6,7\} \) خ) مکمل‌ها نسبت به مجموعه مرجع فرضی نیستند، پس نمی‌توانیم دقیق محاسبه کنیم مگر مرجع مشخص شود. چ) مشابه مورد خ نتیجه نهایی: \( A \cap B = \{0\} \) \( A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} \) \( A - B = \{1,2,3,4,5,6,7\} \) \( B - A = \varnothing \) \( A - (A \cap B) = \{1,2,3,4,5,6,7\} \) \( (A \cup B) - B = \{1,2,3,4,5,6,7\} \) \( A' \cap B' \) و \( A' \cup B' \) نیاز به تعیین مجموعه مرجع دارند.