1. مسئله: دو مجموعه داده شده‌اند: $$ B = \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, x^{7} - 1 = 0 \} $$ $$ A = \{ x \mid x \in W, x - 1 < 7 \} $$ هدف یافتن مجموعه‌های زیر است: الف) $A \cap B$ ب) $A \cup B$ پ) $A - B$ ت) $B - A$ ث) $A - (A \cap B)$ ج) $(A \cup B) - B$ چ) $A' \cup B'$ خ) $A' \cap B'$ 2. ابتدا هر مجموعه را بررسی می‌کنیم: - مجموعه $B$: معادله $x^{7} - 1 = 0$ را حل می‌کنیم. $$ x^{7} = 1 $$ از آنجا که $x$ عدد صحیح است، تنها جواب ممکن $x=1$ است. پس: $$ B = \{1\} $$ - مجموعه $A$: تعریف شده است به صورت $x \in W$ (اعداد طبیعی یا صفر) و شرط $x - 1 < 7$ یعنی: $$ x < 8 $$ پس: $$ A = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} $$ 3. حال به ترتیب عملیات مجموعه‌ها را انجام می‌دهیم: الف) اشتراک $A$ و $B$: $$ A \cap B = \{1\} $$ ب) اجتماع $A$ و $B$: $$ A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6,7\} $$ پ) تفاضل $A$ منهای $B$: $$ A - B = A \setminus B = \{0,2,3,4,5,6,7\} $$ ت) تفاضل $B$ منهای $A$: $$ B - A = B \setminus A = \varnothing $$ چون $1$ در $A$ هست. ث) تفاضل $A$ منهای اشتراک $A$ و $B$: $$ A - (A \cap B) = A - \{1\} = \{0,2,3,4,5,6,7\} $$ ج) تفاضل اجتماع $A$ و $B$ منهای $B$: $$ (A \cup B) - B = A - B = \{0,2,3,4,5,6,7\} $$ چ) مکمل اجتماع $A$ و $B$: مکمل نسبت به مجموعه مرجع $W$ (اعداد طبیعی و صفر) فرض می‌کنیم. $$ A' = W \setminus A = \{8,9,10,\ldots\} $$ $$ B' = W \setminus B = W \setminus \{1\} = \{0,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots\} $$ پس: $$ A' \cup B' = W \setminus (A \cap B) = W \setminus \{1\} = B' $$ خ) مکمل اشتراک $A$ و $B$: $$ A' \cap B' = (W \setminus A) \cap (W \setminus B) = W \setminus (A \cup B) = \{8,9,10,\ldots\} $$ 4. پاسخ نهایی: الف) $\{1\}$ ب) $\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ پ) $\{0,2,3,4,5,6,7\}$ ت) $\varnothing$ ث) $\{0,2,3,4,5,6,7\}$ ج) $\{0,2,3,4,5,6,7\}$ چ) $\{0,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots\}$ خ) $\{8,9,10,\ldots\}$