1. مسئله: بررسی صحت یا نادرستی گزاره‌های داده شده در مبانی نظریه مجموعه‌ها. 2. برای هر گزاره، باید با استفاده از تعاریف مجموعه‌ها، عضویت ($\in$)، زیرمجموعه ($\subseteq$) و عملیات مجموعه‌ای مانند اجتماع ($\cup$) و اشتراک ($\cap$) بررسی کنیم. 3. مثال نقض یعنی یافتن عضوی که شرط گزاره را نقض کند. 4. بررسی گزاره‌های بخش اول: (الف) اگر $x \in A$ و $x \in B$، آنگاه $x \in B$ درست است چون شرط دوم به تنهایی کافی است. (ب) اگر $A \subseteq B$ و $B \in C$، آنگاه $A \in C$ نادرست است چون زیرمجموعه بودن به عضویت تبدیل نمی‌شود. (پ) اگر $A \not\subseteq B$ و $B \subseteq C$، آنگاه $A \not\subseteq C$ نادرست است؛ ممکن است $A$ زیرمجموعه $C$ باشد. (ت) اگر $A \not\subseteq B$ و $B \not\subseteq C$، آنگاه $A \not\subseteq C$ نادرست است؛ هیچ تضمینی نیست. (ث) اگر $A \in B$ و $A \not\subseteq B$، آنگاه $x \not\in B$ نادرست است؛ عضویت $A$ در $B$ ربطی به $x$ ندارد. (ج) اگر $A \subseteq B$ و $x \in B$، آنگاه $x \in A$ نادرست است؛ عضویت $x$ در $B$ به عضویت در $A$ منجر نمی‌شود. 5. بررسی گزاره‌های بخش دوم (عضویت و زیرمجموعه بودن): (الف) $x \in \{\{x\}, \{x,y\}\}$ نادرست است چون $x$ عضو مجموعه نیست بلکه مجموعه‌های $\{x\}$ و $\{x,y\}$ عضو هستند. (ب) $\{x\} \subseteq \{\{x\}, \{x,y\}\}$ درست است چون $\{x\}$ عضو مجموعه است. (پ) $\{1,x,2\} \subseteq \{1,2,x\}$ درست است چون اعضا برابرند. (ت) $\{a,b\} \subseteq \{b,a\}$ درست است چون ترتیب اهمیتی ندارد. (ث) $\{x\} \in \{x\}$ نادرست است چون $\{x\}$ مجموعه‌ای است که عضو آن $x$ است نه $\{x\}$. 6. بررسی گزاره‌های بخش سوم: (الف) $\emptyset = \{\emptyset\}$ نادرست است؛ تهی مجموعه با مجموعه شامل تهی مجموعه متفاوت است. (ب) $\emptyset \in \{\emptyset\}$ درست است چون $\emptyset$ عضو مجموعه است. (پ) $\{\emptyset\} \in \emptyset$ نادرست است چون تهی مجموعه هیچ عضوی ندارد. (ت) $\{\emptyset\} \in \{\{\emptyset\}\}$ درست است. 7. اثبات‌ها: (ب) از $A \subseteq B$ و $A \subseteq C$ نتیجه می‌شود $A \subseteq (B \cap C)$ چون هر عضو $A$ در هر دو $B$ و $C$ است. 7. اثبات تساوی: $$ (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C) \iff C \subseteq A $$ 8. اگر $A \subseteq B$ آنگاه $P(A) \subseteq P(B)$ چون هر زیرمجموعه $A$ زیرمجموعه‌ای از $B$ نیز هست. 9. $A = B \iff A \cup B = A \cap B$ نادرست است؛ این تساوی فقط وقتی برقرار است که $A = B$ باشد. 10. اگر $A \subseteq B$ آنگاه برای هر $C$ داریم: $$ A \cap C \subseteq B \cap C $$ و $$ B \cup C \subseteq A \cup C $$ نادرست است؛ اجتماع به این صورت تضمین نمی‌شود. 11. اگر $A \subseteq C$ و $B \subseteq D$ آنگاه: $$ A \cup B \subseteq C \cup D $$ 12. بررسی درستی: (الف) $A \cup B = A \cup C \Rightarrow B = C$ نادرست است. (ب) $A \cap B = A \cap C \Rightarrow B = C$ نادرست است. 13. توزیع اشتراک روی اجتماع: $$ A \cap (B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n) = (A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup ... \cup (A \cap B_n) $$ 14. (الف) اگر $A_i \subseteq B$ برای همه $i$، آنگاه: $$ A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \subseteq B $$ (ب) اگر $A \subseteq B_i$ برای همه $i$، آنگاه: $$ A \subseteq B_1 \cap B_2 \cap ... \cap B_n $$ پاسخ نهایی: هر گزاره با توجه به تعاریف مجموعه‌ها و عملیات آن‌ها بررسی و اثبات یا نقض شد.