1. Planteamiento del problema: Se nos dan dos secuencias y sus DFTs, y debemos calcular la DFT de dos nuevas secuencias derivadas de ellas. 2. Datos: - $x[n] = [1,2,3,4]$ con DFT $X[k] = [10, -2+2j, -2, -2-2j]$ - $w[n] = [1,1,1,1,0,0,0,0]$ con DFT $W[k] = [4, 1-2.4142j, 0, 1-0.4142j, 0, 1+0.4142j, 0, 1+2.4142j]$ 3. Parte a) Calcular la DFT de $s[n] = [1,2,3,4,1,2,3,4]$ a partir de $X[k]$. - $s[n]$ es la secuencia $x[n]$ repetida dos veces, longitud 8. - La DFT de una secuencia repetida dos veces de longitud $N$ es: $$S[k] = X[k \bmod N/2] \cdot (1 + e^{-j 2 \pi k / N/2})$$ donde $N=8$, $N/2=4$. - Calculamos para $k=0,...,7$: $$S[k] = X[k \bmod 4] \cdot (1 + e^{-j \pi k / 2})$$ - Evaluamos los factores: - $e^{-j \pi k / 2}$ para $k=0,...,7$ es: $[1, -j, -1, j, 1, -j, -1, j]$ - Entonces: $$1 + e^{-j \pi k / 2} = [2, 1 - j, 0, 1 + j, 2, 1 - j, 0, 1 + j]$$ - Multiplicamos por $X[k \bmod 4]$: - $k=0$: $X[0]=10$, factor $2$, $S[0]=10 \times 2=20$ - $k=1$: $X[1]=-2+2j$, factor $1 - j$, $$S[1] = (-2+2j)(1 - j) = -2 + 2j + 2j - 2j^2 = -2 + 4j + 2 = 0 + 4j$$ - $k=2$: $X[2]=-2$, factor $0$, $S[2] = -2 \times 0 = 0$ - $k=3$: $X[3]=-2 - 2j$, factor $1 + j$, $$S[3] = (-2 - 2j)(1 + j) = -2 - 2j - 2j - 2j^2 = -2 - 4j + 2 = 0 - 4j$$ - $k=4$: $X[0]=10$, factor $2$, $S[4] = 10 \times 2 = 20$ - $k=5$: $X[1]=-2+2j$, factor $1 - j$, igual que $k=1$, $S[5] = 0 + 4j$ - $k=6$: $X[2]=-2$, factor $0$, $S[6] = 0$ - $k=7$: $X[3]=-2 - 2j$, factor $1 + j$, igual que $k=3$, $S[7] = 0 - 4j$ - Resultado parte a): $$S[k] = [20, 4j, 0, -4j, 20, 4j, 0, -4j]$$ 4. Parte b) Calcular la DFT de $y[n] = [1,2,3,4,0,0,0,0]$ a partir de $W[k]$ y $S[k]$. - $y[n]$ es $x[n]$ de longitud 4 con ceros añadidos para longitud 8. - La DFT de $y[n]$ es la convolución circular de $X[k]$ y $W[k]$ en frecuencia, pero aquí se puede usar la propiedad: $$Y[k] = \frac{S[k]}{W[k]}$$ porque $s[n] = y[n] * w[n]$ (convolución en tiempo) corresponde a multiplicación en frecuencia. - Calculamos para cada $k$: $$Y[k] = \frac{S[k]}{W[k]}$$ - Valores dados: - $W = [4, 1-2.4142j, 0, 1-0.4142j, 0, 1+0.4142j, 0, 1+2.4142j]$ - Notamos que $W[2], W[4], W[6] = 0$, división no definida, pero $S[2], S[4], S[6]$ son 0 o 20, por lo que solo calculamos donde $W[k] \neq 0$. - Calculamos $Y[k]$ para $k=0,1,3,5,7$: - $k=0$: $Y[0] = 20 / 4 = 5$ - $k=1$: $$Y[1] = \frac{4j}{1 - 2.4142j} = \frac{4j (1 + 2.4142j)}{(1)^2 + (2.4142)^2} = \frac{4j + 9.6568 j^2}{1 + 5.828} = \frac{4j - 9.6568}{6.828} = -1.415 + 0.586j$$ - $k=3$: $$Y[3] = \frac{-4j}{1 - 0.4142j} = \frac{-4j (1 + 0.4142j)}{1 + 0.1716} = \frac{-4j - 1.6568 j^2}{1.1716} = \frac{-4j + 1.6568}{1.1716} = 1.414 - 3.415j$$ - $k=5$: $$Y[5] = \frac{4j}{1 + 0.4142j} = \frac{4j (1 - 0.4142j)}{1 + 0.1716} = \frac{4j - 1.6568 j^2}{1.1716} = \frac{4j + 1.6568}{1.1716} = 1.414 + 3.415j$$ - $k=7$: $$Y[7] = \frac{-4j}{1 + 2.4142j} = \frac{-4j (1 - 2.4142j)}{1 + 5.828} = \frac{-4j + 9.6568 j^2}{6.828} = \frac{-4j - 9.6568}{6.828} = -1.415 - 0.586j$$ - Para $k=2,4,6$ no se puede calcular por división por cero. - Resultado parte b): $$Y[k] = [5, -1.415 + 0.586j, \text{indef}, 1.414 - 3.415j, \text{indef}, 1.414 + 3.415j, \text{indef}, -1.415 - 0.586j]$$ 5. Resumen: - a) $$S[k] = [20, 4j, 0, -4j, 20, 4j, 0, -4j]$$ - b) $$Y[k] = [5, -1.415 + 0.586j, \text{indef}, 1.414 - 3.415j, \text{indef}, 1.414 + 3.415j, \text{indef}, -1.415 - 0.586j]$$