1. مسئله: ضریب‌های سری فوریه برای سیگنال سینوسی را پیدا کنیم. 2. سری فوریه برای یک سیگنال تناوبی $f(t)$ با دوره تناوب $T$ به صورت زیر تعریف می‌شود: $$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right)\right)$$ 3. ضرایب سری فوریه به صورت زیر محاسبه می‌شوند: $$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) dt$$ $$a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt$$ $$b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt$$ 4. حال اگر سیگنال ما یک سینوس ساده باشد، مثلاً: $$f(t) = \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$ 5. چون $f(t)$ خودش یک سینوس با فرکانس پایه است، ضرایب سری فوریه به شکل زیر خواهند بود: - $a_0 = 0$ چون میانگین سینوس در یک دوره صفر است. - $a_n = 0$ برای همه $n$ چون سینوس و کسینوس در فرکانس‌های مختلف اورتگونال هستند. - $b_1 = 1$ چون سینوس پایه با ضریب 1 است. - $b_n = 0$ برای $n \neq 1$. 6. بنابراین سری فوریه سیگنال سینوسی ساده به صورت زیر است: $$f(t) = \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right) = 0 + 0 + 1 \times \sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$ 7. نتیجه: تنها ضریب غیر صفر $b_1 = 1$ است و بقیه ضرایب صفر هستند.