1. مسئله: محاسبه سری فوریه برای دو سیگنال داده شده است. 2. سری فوریه برای سیگنال تناوبی با دوره $T$ به صورت کلی تعریف می‌شود: $$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T}t\right)\right)$$ که ضرایب آن به صورت زیر محاسبه می‌شوند: $$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T x(t) dt$$ $$a_n = \frac{2}{T} \int_0^T x(t) \cos\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) dt$$ $$b_n = \frac{2}{T} \int_0^T x(t) \sin\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) dt$$ 3. قسمت (الف): تابع $x(t)$ به صورت قطعه‌ای تعریف شده است: $$x(t) = \begin{cases} 1 & 0 < t < 2 \\ 0 & 2 < t < 4 \end{cases}$$ با دوره تناوب $T=4$. 4. محاسبه $a_0$: $$a_0 = \frac{1}{4} \int_0^4 x(t) dt = \frac{1}{4} \left( \int_0^2 1 dt + \int_2^4 0 dt \right) = \frac{1}{4} (2 + 0) = \frac{1}{2}$$ 5. محاسبه $a_n$: $$a_n = \frac{2}{4} \int_0^4 x(t) \cos\left(\frac{2\pi n}{4} t\right) dt = \frac{1}{2} \int_0^2 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi n}{2} t\right) dt + \frac{1}{2} \int_2^4 0 dt$$ $$a_n = \frac{1}{2} \int_0^2 \cos\left(\frac{\pi n}{2} t\right) dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n}{2} t\right) \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\pi n} \left( \sin(\pi n) - \sin(0) \right) = 0$$ زیرا $\sin(\pi n) = 0$ برای هر عدد صحیح $n$. 6. محاسبه $b_n$: $$b_n = \frac{2}{4} \int_0^4 x(t) \sin\left(\frac{2\pi n}{4} t\right) dt = \frac{1}{2} \int_0^2 \sin\left(\frac{\pi n}{2} t\right) dt$$ $$b_n = \frac{1}{2} \left[ -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2} t\right) \right]_0^2 = -\frac{1}{\pi n} \left( \cos(\pi n) - \cos(0) \right) = -\frac{1}{\pi n} \left( (-1)^n - 1 \right)$$ 7. بنابراین سری فوریه قسمت (الف) به صورت زیر است: $$x(t) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{\pi n} \left( (-1)^n - 1 \right) \sin\left(\frac{\pi n}{2} t\right)$$ 8. قسمت (ب): تابع $x(t) = \sin(\omega t)$ است که خود یک موج سینوسی است و سری فوریه آن فقط شامل همان هارمونیک اول است. 9. سری فوریه $\sin(\omega t)$ با دوره تناوب $T = \frac{2\pi}{\omega}$ به صورت: $$x(t) = 0 + 0 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T} t\right) + 1 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$$ 10. نتیجه نهایی: - قسمت (الف): $$x(t) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{\pi n} \left( (-1)^n - 1 \right) \sin\left(\frac{\pi n}{2} t\right)$$ - قسمت (ب): $$x(t) = \sin(\omega t)$$