1. مسئله: تبدیل فوریه سیگنال‌های زیر را محاسبه کنید: (الف) $x(t) = \sin(\omega t)$ (ب) $x(t) = e^{-a|t|}$ 2. فرمول تبدیل فوریه برای سیگنال $x(t)$ به صورت زیر است: $$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$$ 3. حل قسمت (الف): - سیگنال $x(t) = \sin(\omega t)$ را می‌توان با استفاده از رابطه اویلر به صورت زیر نوشت: $$\sin(\omega t) = \frac{e^{j \omega t} - e^{-j \omega t}}{2j}$$ - تبدیل فوریه خطی است، پس: $$X(\omega) = \mathcal{F}\{\sin(\omega t)\} = \frac{1}{2j} \left( \mathcal{F}\{e^{j \omega t}\} - \mathcal{F}\{e^{-j \omega t}\} \right)$$ - تبدیل فوریه $e^{j \omega_0 t}$ برابر با $2\pi \delta(\omega - \omega_0)$ است، که $\delta$ تابع دلتا دیراک است. - بنابراین: $$X(\omega) = \frac{1}{2j} \left( 2\pi \delta(\omega - \omega) - 2\pi \delta(\omega + \omega) \right) = \frac{\pi}{j} \left( \delta(\omega - \omega) - \delta(\omega + \omega) \right)$$ 4. حل قسمت (ب): - سیگنال $x(t) = e^{-a|t|}$ یک تابع نمایی دوطرفه است. - تبدیل فوریه آن به صورت زیر است: $$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|t|} e^{-j \omega t} dt$$ - تابع $e^{-a|t|}$ متقارن است، پس می‌توانیم انتگرال را به دو قسمت تقسیم کنیم: $$X(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{a t} e^{-j \omega t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-a t} e^{-j \omega t} dt$$ - محاسبه هر دو انتگرال: $$\int_{-\infty}^{0} e^{(a - j \omega) t} dt = \frac{1}{a - j \omega}$$ $$\int_{0}^{\infty} e^{-(a + j \omega) t} dt = \frac{1}{a + j \omega}$$ - جمع دو انتگرال: $$X(\omega) = \frac{1}{a - j \omega} + \frac{1}{a + j \omega} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$$ 5. پاسخ نهایی: (الف) $$X(\omega) = \frac{\pi}{j} \left( \delta(\omega - \omega) - \delta(\omega + \omega) \right)$$ (ب) $$X(\omega) = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$$ این نتایج نشان می‌دهند که تبدیل فوریه سینوس شامل دو پیک دلتا در فرکانس‌های مثبت و منفی است و تبدیل فوریه تابع نمایی دوطرفه یک تابع کسینوسی شکل با پهنای باند وابسته به $a$ است.