1. مسئله: تبدیل فوریه سیگنال $x(t) = e^{-a|t|}$ را بیابید. 2. فرمول تبدیل فوریه برای تابع $x(t)$ به صورت زیر است: $$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$$ 3. در اینجا $x(t) = e^{-a|t|}$ است که تابعی زوج است، بنابراین می‌توانیم از خاصیت زوج بودن استفاده کنیم: $$X(\omega) = 2 \int_0^{\infty} e^{-a t} \cos(\omega t) dt$$ 4. انتگرال مورد نظر یک انتگرال استاندارد است که داریم: $$\int_0^{\infty} e^{-p t} \cos(q t) dt = \frac{p}{p^2 + q^2}$$ که در اینجا $p = a$ و $q = \omega$. 5. بنابراین: $$X(\omega) = 2 \times \frac{a}{a^2 + \omega^2} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$$ 6. نتیجه نهایی: تابع تبدیل فوریه سیگنال $x(t) = e^{-a|t|}$ برابر است با: $$X(\omega) = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$$ این تابع نشان می‌دهد که تبدیل فوریه یک تابع نمایی زوج با نرخ کاهش $a$، یک تابع کسینوسی Lorentzian است که در فرکانس $\omega$ تعریف شده است.