1. **Énoncé du problème :** Calculer la transformée de Fourier (TF) du signal $S = S_1 + S_2$, où $S_1$ et $S_2$ sont deux triangles symétriques définis sur $[-T, T]$. 2. **Relation entre $S_2$ et $S_1$ :** Le signal $S_2$ est le symétrique de $S_1$ par rapport à l'axe vertical $t=0$ et inversé en amplitude. Donc, $$S_2(t) = -S_1(-t)$$ 3. **Expression de la TF de $S$ en fonction de celle de $S_1$ :** La TF est linéaire, donc $$\hat{S}(f) = \hat{S}_1(f) + \hat{S}_2(f) = \hat{S}_1(f) + \mathcal{F}[-S_1(-t)](f)$$ Utilisant la propriété de symétrie, $$\mathcal{F}[S_1(-t)](f) = \hat{S}_1(-f)$$ Donc, $$\hat{S}_2(f) = -\hat{S}_1(-f)$$ Ainsi, $$\hat{S}(f) = \hat{S}_1(f) - \hat{S}_1(-f)$$ 4. **Définition du créneau $\Pi$ :** $$\Pi(t) = \begin{cases} a, & 0 \leq t \leq \frac{T}{2} \\ 0, & \text{ailleurs} \end{cases}$$ 5. **Vérification de $a$ :** Puisque $S_1 = \Pi * \Pi$, l'énergie de $S_1$ est liée à $a$ et $T$. L'aire sous $\Pi$ est $a \times \frac{T}{2}$. L'énergie de $S_1$ est $a^2 \frac{T}{2}$, donc $a = a^2 \frac{T}{2}$ implique $a = \frac{2}{T}$. 6. **Calcul de la TF de $\Pi$ :** $$\hat{\Pi}(f) = \int_0^{\frac{T}{2}} a e^{-2i\pi f t} dt = a \left[ \frac{e^{-2i\pi f t}}{-2i\pi f} \right]_0^{\frac{T}{2}} = a \frac{1 - e^{-i\pi f T}}{2i\pi f}$$ 7. **TF de $S_1$ :** Comme $S_1 = \Pi * \Pi$, alors $$\hat{S}_1(f) = \hat{\Pi}(f)^2 = \left(a \frac{1 - e^{-i\pi f T}}{2i\pi f}\right)^2$$ 8. **TF de $S$ :** $$\hat{S}(f) = \hat{S}_1(f) - \hat{S}_1(-f)$$ 9. **Signal périodique $X$ de période $T' = 2T$ :** $$X(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} S(t - kT')$$ 10. **Coefficients de Fourier $C_n$ de $X$ :** $$C_n = \frac{1}{T'} \int_{-\frac{T'}{2}}^{\frac{T'}{2}} X(t) e^{-i n \omega_0 t} dt$$ avec $\omega_0 = \frac{2\pi}{T'} = \frac{\pi}{T}$. 11. **Lien entre $C_n$ et $\hat{S}$ :** Par la propriété des séries de Fourier et transformée de Fourier, $$C_n = \frac{1}{T'} \hat{S}(f = \frac{n}{T'}) = \frac{1}{2T} \hat{S}\left(\frac{n}{2T}\right)$$ 12. **Calcul explicite des coefficients $C_n$ :** Substituer $f = \frac{n}{2T}$ dans l'expression de $\hat{S}(f)$ obtenue précédemment. **Réponse finale :** $$\boxed{\begin{cases} S_2(t) = -S_1(-t) \\ \hat{S}(f) = \hat{S}_1(f) - \hat{S}_1(-f) \\ \hat{\Pi}(f) = a \frac{1 - e^{-i\pi f T}}{2i\pi f} \\ \hat{S}_1(f) = \left(\hat{\Pi}(f)\right)^2 \\ C_n = \frac{1}{2T} \hat{S}\left(\frac{n}{2T}\right) \end{cases}}$$