1. **Énoncé du problème :** Calculer la transformée en Z de l'échelon unité $u(n)$, où $u(n) = 1$ pour $n \geq 0$ et $0$ sinon. 2. **Formule de la transformée en Z :** La transformée en Z d'une fonction discrète $f(n)$ est définie par $$F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n) z^{-n}$$ 3. **Application à l'échelon unité :** Ici, $f(n) = u(n) = 1$ pour $n \geq 0$, donc $$F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} 1 \cdot z^{-n} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^{-n}$$ 4. **Série géométrique :** La somme d'une série géométrique est $$\sum_{n=0}^{+\infty} r^n = \frac{1}{1-r} \quad \text{pour } |r| < 1$$ Ici, $r = z^{-1}$, donc la série converge pour $|z| > 1$. 5. **Résultat final :** $$F(z) = \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z-1}$$ 6. **Interprétation :** La transformée en Z de l'échelon unité est donc $$\boxed{F(z) = \frac{z}{z-1}}$$ Cette expression est valide pour $|z| > 1$.