1. **Énoncé du problème :** Calculer la transformée en Z $F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(nT_e) z^{-n}$ pour différentes fonctions causales $f(t)$. 2. **Formule générale :** $$F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(nT_e) z^{-n}$$ avec $n$ entier naturel, $T_e$ période d'échantillonnage. 3. **a) Échelon unité :** $f(t) = u(t)$, donc $f(nT_e) = 1$ pour $n \geq 0$. $$F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} 1 \cdot z^{-n} = \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z-1}$$ 4. **b) $f(t) = a^{t}$ :** $$f(nT_e) = a^{nT_e} = (a^{T_e})^n$$ Donc $$F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (a^{T_e})^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{a^{T_e}}{z} \right)^n = \frac{1}{1 - a^{T_e} z^{-1}} = \frac{z}{z - a^{T_e}}$$ Pour $f(t) = e^{-at}$, on pose $a = e^{-a}$ donc $$F(z) = \frac{z}{z - e^{-a T_e}}$$ 5. **c) $f(t) = \cos(\omega t)$ :** $$f(nT_e) = \cos(\omega n T_e) = \frac{e^{j \omega n T_e} + e^{-j \omega n T_e}}{2}$$ La transformée en Z est la somme des deux géométriques : $$F(z) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} (e^{j \omega T_e} z^{-1})^n + \sum_{n=0}^{+\infty} (e^{-j \omega T_e} z^{-1})^n \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - e^{j \omega T_e} z^{-1}} + \frac{1}{1 - e^{-j \omega T_e} z^{-1}} \right)$$ En simplifiant : $$F(z) = \frac{z (z - \cos(\omega T_e))}{z^2 - 2 z \cos(\omega T_e) + 1}$$ 6. **d) $f(t) = \sin(\omega t)$ :** $$f(nT_e) = \sin(\omega n T_e) = \frac{e^{j \omega n T_e} - e^{-j \omega n T_e}}{2j}$$ De même, $$F(z) = \frac{1}{2j} \left( \frac{1}{1 - e^{j \omega T_e} z^{-1}} - \frac{1}{1 - e^{-j \omega T_e} z^{-1}} \right) = \frac{z \sin(\omega T_e)}{z^2 - 2 z \cos(\omega T_e) + 1}$$ 7. **e) $f(t) = 1 - e^{-at}$ :** $$F(z) = Z[1] - Z[e^{-at}] = \frac{z}{z-1} - \frac{z}{z - e^{-a T_e}}$$ 8. **f) Montrer que $Z[t f(t)] = - z T_e F'(z)$ :** Par définition, $$F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(nT_e) z^{-n}$$ Dérivons par rapport à $z$ : $$F'(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(nT_e) (-n) z^{-n-1} = - z^{-1} \sum_{n=0}^{+\infty} n f(nT_e) z^{-n}$$ Donc $$- z T_e F'(z) = T_e \sum_{n=0}^{+\infty} n f(nT_e) z^{-n} = Z[t f(t)]$$ Appliquons à $f(t) = \sin(\omega t)$ : $$F(z) = \frac{z \sin(\omega T_e)}{z^2 - 2 z \cos(\omega T_e) + 1}$$ Calculons $F'(z)$ et obtenons $$Z[t \sin(\omega t)] = - z T_e F'(z)$$ 9. **g) Montrer que $Z[a^{t} f(t)] = F\left( \frac{z}{a T_e} \right)$ :** $$Z[a^{t} f(t)] = \sum_{n=0}^{+\infty} a^{n T_e} f(n T_e) z^{-n} = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n T_e) \left( \frac{z}{a^{T_e}} \right)^{-n} = F\left( \frac{z}{a^{T_e}} \right)$$ En déduire pour $f(t) = e^{-a t} \cos(\omega t)$ : $$Z[e^{-a t} \cos(\omega t)] = F\left( \frac{z}{e^{-a T_e}} \right) = F(z e^{a T_e})$$ avec $F(z)$ la transformée en Z de $\cos(\omega t)$ calculée en c). **Réponse finale :** \begin{align*} &\text{a) } F(z) = \frac{z}{z-1} \\ &\text{b) } F(z) = \frac{z}{z - a^{T_e}}, \quad \text{et pour } e^{-a t}, F(z) = \frac{z}{z - e^{-a T_e}} \\ &\text{c) } F(z) = \frac{z (z - \cos(\omega T_e))}{z^2 - 2 z \cos(\omega T_e) + 1} \\ &\text{d) } F(z) = \frac{z \sin(\omega T_e)}{z^2 - 2 z \cos(\omega T_e) + 1} \\ &\text{e) } F(z) = \frac{z}{z-1} - \frac{z}{z - e^{-a T_e}} \\ &\text{f) } Z[t f(t)] = - z T_e F'(z), \quad Z[t \sin(\omega t)] = - z T_e \frac{d}{dz} \left( \frac{z \sin(\omega T_e)}{z^2 - 2 z \cos(\omega T_e) + 1} \right) \\ &\text{g) } Z[a^{t} f(t)] = F\left( \frac{z}{a^{T_e}} \right), \quad Z[e^{-a t} \cos(\omega t)] = F(z e^{a T_e}) \end{align*}