1. 問題陳述：我們要計算序列 $y[n] = A^n \{u[n-2] - u[n-13]\} * 2\{u[n+2] - u[n-12]\}$ 的卷積。 2. 公式與規則：卷積定義為 $$y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$$ 其中 $x[n] = A^n \{u[n-2] - u[n-13]\}$，$h[n] = 2\{u[n+2] - u[n-12]\}$。 3. 分析序列範圍： - $x[k]$ 在 $k=2$ 到 $k=12$ 之間非零。 - $h[m]$ 在 $m=-2$ 到 $m=11$ 之間非零。 4. 計算卷積： $$y[n] = \sum_{k=2}^{12} A^k \cdot 2 \cdot u[n-k+2] - u[n-k-12]$$ 因為 $h[n-k] = 2\{u[n-k+2] - u[n-k-12]\}$， 5. 確定 $h[n-k]$ 非零範圍： $h[n-k]$ 非零當且僅當 $-2 \leq n-k \leq 11$，即 $n-11 \leq k \leq n+2$。 6. 因此，卷積求和範圍為 $$k = \max(2, n-11) \quad \text{到} \quad \min(12, n+2)$$ 7. 最終卷積式為： $$y[n] = 2 \sum_{k=\max(2, n-11)}^{\min(12, n+2)} A^k$$ 8. 這是有限項等比數列求和，使用等比數列求和公式： $$\sum_{k=m}^M A^k = \frac{A^m - A^{M+1}}{1 - A}$$ 9. 代入後： $$y[n] = 2 \cdot \frac{A^{\max(2, n-11)} - A^{\min(12, n+2)+1}}{1 - A}$$ 這即為 $y[n]$ 的卷積結果。