1. مسئله: ضریبهای سری فوریه سیگنالهای داده شده را با دوره تناوب $T=4$ محاسبه کنید.
2. فرمولهای سری فوریه برای سیگنال تناوبی با دوره $T$ به صورت زیر است:
$$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T x(t) dt$$
$$a_n = \frac{2}{T} \int_0^T x(t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt$$
$$b_n = \frac{2}{T} \int_0^T x(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt$$
3. حل قسمت (الف):
سیگنال:
$$x(t) = \begin{cases} 1, & 0 < t < 2 \\ -1, & 2 < t < 4 \end{cases}$$
- محاسبه $a_0$:
$$a_0 = \frac{1}{4} \left( \int_0^2 1 dt + \int_2^4 (-1) dt \right) = \frac{1}{4} (2 - 2) = 0$$
- محاسبه $a_n$:
$$a_n = \frac{2}{4} \left( \int_0^2 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt + \int_2^4 (-1) \cdot \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \right) = \frac{1}{2} \left( I_1 - I_2 \right)$$
که
$$I_1 = \int_0^2 \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt, \quad I_2 = \int_2^4 \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt$$
محاسبه $I_1$:
$$I_1 = \left[ \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \right]_0^2 = \frac{2}{\pi n} (\sin(\pi n) - 0) = 0$$
زیرا $\sin(\pi n) = 0$ برای هر عدد صحیح $n$.
محاسبه $I_2$:
$$I_2 = \left[ \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \right]_2^4 = \frac{2}{\pi n} (\sin(2\pi n) - \sin(\pi n)) = 0$$
زیرا $\sin(2\pi n) = \sin(\pi n) = 0$.
پس
$$a_n = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0$$
- محاسبه $b_n$:
$$b_n = \frac{2}{4} \left( \int_0^2 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt + \int_2^4 (-1) \cdot \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \right) = \frac{1}{2} (J_1 - J_2)$$
که
$$J_1 = \int_0^2 \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt, \quad J_2 = \int_2^4 \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt$$
محاسبه $J_1$:
$$J_1 = \left[ -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \right]_0^2 = -\frac{2}{\pi n} (\cos(\pi n) - 1) = -\frac{2}{\pi n} ((-1)^n - 1)$$
محاسبه $J_2$:
$$J_2 = \left[ -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \right]_2^4 = -\frac{2}{\pi n} (\cos(2\pi n) - \cos(\pi n)) = -\frac{2}{\pi n} (1 - (-1)^n)$$
پس
$$b_n = \frac{1}{2} \left(-\frac{2}{\pi n} ((-1)^n - 1) + \frac{2}{\pi n} (1 - (-1)^n) \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\pi n} (1 - (-1)^n) = \frac{2}{\pi n} (1 - (-1)^n)$$
اگر $n$ زوج باشد، $1 - (-1)^n = 0$ و اگر فرد باشد، $1 - (-1)^n = 2$.
پس
$$b_n = \begin{cases} \frac{4}{\pi n}, & n \text{ فرد} \\ 0, & n \text{ زوج} \end{cases}$$
4. پاسخ قسمت (الف):
$$a_0 = 0, \quad a_n = 0, \quad b_n = \frac{4}{\pi n} \text{ برای } n \text{ فرد}$$
5. حل قسمت (ب):
سیگنال:
$$x(t) = \sin(\omega t)$$
- محاسبه $a_0$:
$$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T \sin(\omega t) dt = 0$$
زیرا انتگرال سینوس در یک دوره کامل صفر است.
- محاسبه $a_n$:
$$a_n = \frac{2}{T} \int_0^T \sin(\omega t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt = 0$$
زیرا ضرب سینوس و کسینوس با فرکانسهای متفاوت در دوره کامل صفر میشود.
- محاسبه $b_n$:
$$b_n = \frac{2}{T} \int_0^T \sin(\omega t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt$$
اگر $\omega = \frac{2\pi m}{T}$ برای عدد صحیح $m$ باشد، آنگاه
$$b_n = \begin{cases} 1, & n = m \\ 0, & n \neq m \end{cases}$$
6. پاسخ قسمت (ب):
$$a_0 = 0, \quad a_n = 0, \quad b_n = \delta_{n,m}$$
که $\delta_{n,m}$ دلتا کرونکر است که 1 وقتی $n=m$ و 0 در غیر این صورت.
Fourier Coefficients 1C24De
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.