1. مسئله: تابع تناوبی $x(t)$ به صورت قطعه‌ای تعریف شده است: $$x(t) = \begin{cases} 1 & 0 < t < 2 \\ -1 & 2 < t < 4 \end{cases}$$ با دوره تناوب $T=4$. 2. تابع $x(t) = \sin(\omega t)$ است. 3. تابع $y(t)$ به صورت انتگرال تعریف شده: $$y(t) = \int_{-\pi}^{2t} x(\tau) d\tau$$ 4. تابع گسسته $y[n]$ به صورت: $$y[n] = n x[n-2]$$ 5. تابع‌های دیگر: - $x(t) = e^{-a|t|}$ - $x(t) = e^{-at} u(t)$ که تبدیل لاپلاس آن $X(s)$ و ناحیه همگرایی (ROC) خواسته شده است. - $x(t) = -e^{-at} u(-t)$ که تبدیل لاپلاس آن $X(s)$ و ناحیه همگرایی (ROC) خواسته شده است. --- ### حل مسائل: 1. **تابع تناوبی $x(t)$:** - تابع $x(t)$ یک تابع مستطیلی است که در بازه $0 < t < 2$ مقدار 1 و در بازه $2 < t < 4$ مقدار -1 دارد. - دوره تناوب $T=4$ است. 2. **تابع $x(t) = \sin(\omega t)$:** - تابع سینوسی با فرکانس زاویه‌ای $\omega$ است. 3. **محاسبه $y(t)$:** - تعریف شده به صورت انتگرال از $x(\tau)$ از $-\pi$ تا $2t$. - برای محاسبه باید تابع $x(\tau)$ را در بازه انتگرال جایگذاری کنیم و انتگرال را محاسبه کنیم. 4. **تابع گسسته $y[n] = n x[n-2]$:** - این رابطه نشان می‌دهد که مقدار $y$ در نقطه $n$ برابر است با $n$ ضربدر مقدار $x$ در نقطه $n-2$. 5. **تابع $x(t) = e^{-a|t|}$:** - تابع نمایی با مقدار مطلق در توان. 6. **تبدیل لاپلاس $x(t) = e^{-at} u(t)$:** - تابع واحد گام $u(t)$ باعث می‌شود تابع فقط برای $t \geq 0$ تعریف شود. - تبدیل لاپلاس: $$X(s) = \int_0^{\infty} e^{-at} e^{-st} dt = \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t} dt = \frac{1}{s+a}, \quad \text{ROC}: \Re(s) > -a$$ 7. **تبدیل لاپلاس $x(t) = -e^{-at} u(-t)$:** - تابع واحد گام معکوس $u(-t)$ باعث می‌شود تابع فقط برای $t \leq 0$ تعریف شود. - تبدیل لاپلاس: $$X(s) = \int_{-\infty}^0 -e^{-at} e^{-st} dt = -\int_{-\infty}^0 e^{-(s+a)t} dt = -\left[ \frac{e^{-(s+a)t}}{-(s+a)} \right]_{-\infty}^0 = \frac{1}{s+a}, \quad \text{ROC}: \Re(s) < -a$$ --- ### خلاصه پاسخ‌ها: - $x(t)$ تابع مستطیلی تناوبی با دوره $4$. - $y(t) = \int_{-\pi}^{2t} x(\tau) d\tau$ باید با توجه به تعریف $x(\tau)$ محاسبه شود. - $y[n] = n x[n-2]$ رابطه گسسته. - تبدیل لاپلاس $x(t) = e^{-at} u(t)$ برابر است با $X(s) = \frac{1}{s+a}$ با ROC: $\Re(s) > -a$. - تبدیل لاپلاس $x(t) = -e^{-at} u(-t)$ برابر است با $X(s) = \frac{1}{s+a}$ با ROC: $\Re(s) < -a$.